|
А.Н.Ширяев ВЕРОЯТНОСТЬ
| | Настоящее учебное пособие представляет расширенный трехсеместровый курс лекций по теории вероятностей. Первая ЧАСТЬ посвящена элементарной теории вероятностей и предназначена для первичного ознакомления с предметом. Во второй части излагаются математические основания теории вероятностей базирующиеся на аксиоматике Колмогорова.В третьей части рассматриваются случайные процессы с дискретным временем — случайные последовательности (стационарные марковские мартингалы). Во введении дан исторический очерк становления теории вероятностей.В историко-библиографической справке приводятся источники результатов и указывается дополнительная Литература .В конце каждого параграфа даются задачи. Книга рассчитана на студентов и аспирантов математических отделений университетов.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов §2. Некоторые классические модели и распределения §3. Условные вероятности. Независимость §4. Случайные величины и их характеристики §5. Схема Бернулли. I. Закон больших чисел §6. Схема Бернулли. П. Предельные теоремы (локальная Муавра — Лапласа Пуассона) §7. Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли §8. Условные вероятности и математические ожидания относительно разбиений §9. Случайное блуждание. I. Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты §10. Случайное блуждание. П. Принцип отражения. Закон арксинуса §11. Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию §12. Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство
Глава II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§1. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова §2. Алгебры и о-алгебры. Измеримые пространства §3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах §4. Случайные величины. I §5. Случайные элементы §6. Интеграл Лебега. Математическое ожидание §7. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно о- алгебр §8. Случайные величины. §9. Построение процесса с заданными конечномерными распределениями §10. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин §11. Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом §12. Характеристические функции §13. Гауссовские системы
Глава III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
§1. Слабая сходимость вероятностных мер и распределений §2. Относительная компактность и плотность семейств вероятностных распределений §3. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем §4. Центральная предельная теорема §5. Безгранично делимые и устойчивые распределения
Глава IV. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬИИ СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§1. Законы «нуля или единицы» §2. Сходимость рядов §3. Усиленный закон больших чисел §4. Закон повторного логарифма
Глава V. СТАЦИОНАРНЫЕ (В УЗКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬИИ ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
§1. Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности. Сохраняющие меру преобразования §2. Эргодичность и перемешивание §3. Эргодические теоремы
Глава VI. СТАЦИОНАРНЫЕ (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И. L2 ТЕОРИЯ
§1. Спектральное представление ковариационной функции §2. Ортогональные стохастические меры и стохастические интегралы §3. Спектральное представление 418 стационарных (в широком смысле) последовательностей §4. Статистическое оценивание ковариационной функции и спектральной плотности §5. Разложение Вольда §6. Экстраполяция интерполяция и фильтрация §7. Фильтр Калмана—Бьюси и его обобщения
Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ОБРАЗУЮЩИЕ МАРТИНГАЛ
§1. Определения мартингалов и родственных понятий §2.О сохранении свойства мартингальности при замене времени на случайный момент §3. Основные неравенства §4. Основные теоремы о сходимости субмартингалов и мартингалов §5.О множествах сходимости субмартингалов и мартингалов §6. Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений §7. Об асимптотике вероятности выхода случайного блуждания за криволинейную границу
Глава VIII ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ОБРАЗУЮЩИЕ МАРКОВСКУЮ ЦЕПЬ
§1. Определения и основные свойства §2. Классификация состояний марковской цепи по арифметическим свойствам переходных вероятностей §3. Классификация состояний марковской цепи по асимптотическим свойствам вероятностей
ИСТОРИКО- БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Литература
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Предметный указатель
А
Абсолютная непрерывность мер Абсолютно непрерывный тип распределения Авторегрессионная схема Аксиоматика Колмогорова Аксиомы теории вероятностей .О существовании предельных и стационарных распределений . Примеры Латинский алфавит Готический алфавит Греческий алфавит Алгебра множеств — тривиальная Альтернатива Гаека — Фельдмана — Какутани Атом разбиения
Б
Базис ортонормированный ; Байеса теорема — формула Банаховское пространство Белый шум Берри — Эссеена неравенство Борелевская алгебра — функция Борелевское множество — пространство Блуждание частицы
В
Вероятностная модель -в расширенном смысле Вероятностное пространство -каноническое -полное Вероятность г — апостериорная — априорная — классическая — первого возвращения -попадания — разорения . Винеровская мера Винеровский процесс Взаимная характеристика Вольда разложение Выборки неупорядоченные — упорядоченные
Г
Гауссовская система — случайная величина . Гауссовский вектор — процесс Гауссовско-марковский процесс Гильбертово пространство -сепарабельное
Д
Двумерная гауссовская плотность Дисперсия Доверительный интервал d-система
З
Задача о размещении — о разорении — о совпадениях Закон арксинуса — больших чисел -Бернулли -для марковских цепей -Пуассона — «нуля или единицы» Бореля -для гауссовских последовательностей -Колмогорова -Хьюитта и Сэвиджа — повторного логарифма
И
Игла Бюффона Игра благоприятная — неблагоприятная — справедливая Изинга одномерная модель Изометрическое соответствие Измеримая функция Измеримое пространство -(RB(R)) -(RnB(Rn)) -(ГВ(Г)) -(RTB(RT)) -(СВ(С)) -(DB(D)) teT Импульсная переходная функция Инвариантные множества Индикатор множества Интеграл Лебега — Лебега — Стилтьеса — Римана — Римана — Стилтьеса — стохастический Интегральная теорема Муавра — Лапласа Интегрирование с помощью подстановка Интерполяция Испытание Исход
К
Квадратическая вариация — характеристика Класс определяющий сходимость Ковариационная матрица — функция Ковариация Компактность Компенсатор Конечномерные функции распределения Корреляционная функция Коэффициент корреляции -максимальный Кривая регрессии Критерий Карлемана — сходимости Коши Кумулянты
Л
Лебеговская мера Лебеговское множество Лемма Бореля — Кантелли — Бореля — Кантелли — Леви — Кронекера — Пратта — Теплица — Фату Линейная независимость Линейное многообразие -замкнутое Локальная абсолютная непрерывность мер Локальная предельная теорема
М
Марковская цепь -однородная -стационарная Марковский момент — процесс Марковское свойство Мартингал — квадратично интегрируемый — локальный — обобщенный — обращенный — равномерно интегрируемый Мартингал-разность Мартингальное преобразование Математическое ожидание Матрица ковариации — неотрицательно определенная — переходных вероятностей — псевдообратная Мера абсолютно непрерывная — вероятностная — дискретная — конечно-аддитивная — Лебега — Лебега — Стилтьеса — полная — сингулярная — счетно-аддитивная — конечная Метод моментов — Монте-Карло — наименьших квадратов — характеристических функций Момент остановки Моменты — абсолютные —.смешанные Монотонный класс Паборы неупорядоченные — упорядоченные
Н
Независимость — алгебр — линейная — случайных величин -элементов — событий — приращений Некоррелированность Неравенства Бесселя — Буркхольдера — Гельдера — Дворецкого — Дуба — Дэвиса — Иенсена — Колмогорова — Коши — Буняковского — Леви — Ляпунова Неравенства Маркова — Марцинкевича — Зигмунда — Минковского — Рао — Крамера — Оттавиани — Чебышева — Хинчина Норма Нормальные числа
О
Обобщенная теорема Байеса — функция распределения Обновляющая последовательность Обратное уравнение Оператор сдвига Определяющий класс Ортогонализация Грама — Шмидта Ортогональные меры Относительная компактность Отношение правдоподобия Отображение измеримое — сохраняющее меру Оценивание ковариационной функции — спектральной плотности Оценка — несмещенная — оптимальная -состоятельная — эффективная Оценки спектральной плотности Бартлета -Журбенко -Нарзена
П
Перемешивание Пересечение множеств Переходная вероятность Периодограмма Перпендикуляр Плотность Плотность семейств распределений Полиномы Бернштейна — Пуассона —Шарлье — Эрмита Полнота Полунорма Последовательности почти- периодические — регулярные — сингулярные — скользящего среднего — стационарные в узком смысле -в широком смысле — частично-наблюдаемые Почти наверное (почти всюду) Предсказуемая последовательность Представления Леви — Хинчина Принцип отражения — подходящих множеств Продолжение меры Проекция Производная Радона — Никодима Простое случайное блуждание Пространство исходов — элементарных событий Процесс броуновского движения — ветвящийся — винеровский — гауссовский — гауссовско-марковский — марковский — с независимыми приращениями — условно винеровский Прямое произведение мер -пространств Прямое произведение о-алгебр — уравнение Пустое множество
Р
Равенство Парсеваля Равномерная интегрируемость Разбиение Разложения Вольда — Дуба — Крикеберга — Лебега Размещения Разность множеств Распределение безгранично делимое — бернуллиевское — бета — биномиальное — гамма — гауссовское — геометрическое — гипергеометрическое — двустороннее экспоненциальное — дискретное -равномерное — инвариантное — Коши — логарифмически нормальное — многомерное -гипергеометрическое — мультиномиальное — нормальное — отрицательно биномиальное — Пуассона — равномерное — сингулярное — стационарное — Стьюдента — устойчивое — хи — хи-квадрат — экспоненциальное Распределение вероятностей процесса -случайной величины Расстояние Леви Расширенная случайная величина Регулярные условные вероятности -распределения — функции распределения
С
Свертка распределений Секвенциальная компактность Семиинварианты Симметрическая разность множеств Сингулярные меры Система ортонормированная Скалярное произведение Слабая сходимость Случайная величина -абсолютно непрерывная -дискретная -инвариантная -комплексная -непрерывная -простая Случайное блуждание Случайные векторы — последовательности — процессы с дискретным временем -с непрерывным временем -с ортогональными приращениями Случайные элементы Смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего Событие Событие достоверное — невозможное События перестановочные Согласованности свойство — условие Состояния цепи апериодические -возвратные -достижимые -невозвратные -несущественные -нулевые -положительные -сообщающиеся -существенные Сочетания Спектральная мера — плотность — функция Спектральное представление ковариационной функции -стационарной последовательности Спектральные окна Среднее значение Средняя длительность блуждания Стандартное отклонение Статистика Бозе — Эйнштейна — Максвелла — Больцмана — Ферми — Дирака Статистическая независимость Стохастическая матрица -дважды — мера -конечно-аддитивная -ортогональная -элементарная — последовательность Стохастический интеграл Строго марковское свойство Структурная функция Субмартингал Сужение меры Сумма множеств Супермартингал Схема Бернулли — серий Сходимость в основном — в среднем квадратическом -порядка р — в смысле If — с вероятностью единица — по вероятности — по распределению — почти всюду — почти наверное — рядов о-алгебра — остаточная — хвостовая
Т
Теоремы Берри — Эссеена — Биркгофа — Хинчина — Бохнера — Хинчина — Вейерштрасса — Герглотца — Дуба — Ионеску Тулчи — Кантелли — Каратеодори — Колмогорова — Колмогорова — Хинчина — Лебега о мажорируемой сходимости — Леви — Макмиллана — Марцинкевича Теоремы Муавра — Лапласа — непрерывности —о баллотировке — о двух рядах — о замене переменных под знаком интеграла Лебега — о монотонной сходимости — о нормальной корреляции — о сходимости под знаком условных математических ожиданий — о трех рядах — Пойа — Прохорова — Пуассона — Радона — Пикодима — Фубини — Хелли — центральная предельная — эргодическая Тождества Вальда
У
Уравнение Колмогорова — Чэпмена — обратное — прямое Уровень значимости Усиленный закон больших чисел Условие Линдеберга — Ляпунова Условная вероятность -относительно разбиений -случайных величин -о-алгебр -регулярная Условное математическое ожидание -в широком смысле -относительно разбиений -случайных величин -событий -о -алгебр
Ф
Фазовое пространство Фильтр — Калмана — Бьюси — физически осуществимый Фильтрация Формула обращения . — полной вероятности Формула связи моментов и семиинвариантов — Сеге — Колмогорова — Стирлинга — умножения вероятностей Фундаментальное тождество Вальда Фундаментальность в среднем — по вероятности — с вероятностью единица Функции верхние — нижние — Радемахера — распределения —
Х
Хаара Характеристика взаимная — квадратическая Характеристическая функция -множеств
Ц
Центральная предельная теорема Цепь Маркова -апериодическая -возвратная -дискретная -конечная -неразложимая -однородная -положительная Цепь Маркова
Э
Экран отражающий -стационарная — поглощающий -эргодическая Экстраполяция Циклические подклассы Элементарное событие. Цилиндрические множества Энтропия распределения Частота Эргодическая теорема Частотная характеристика фильтра Эргодичность Эквивалентные меры
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
