|
Специальные функции и теория представлений групп. Автор Н.Я.Виленкин
| | Решение очень многих важных задач математической физики и техники не может быть выражено с помощью обычных, элементарных функций, и тогда приходят на помощь специальные функции (функции Лежандра, функции Бесселя, гипергеометрическая функция и т. д.). Теория специальных функций очень детально разработана и включает в себя необозримое множество формул и соотношений, выводимых самыми разнообразными методами, что затрудняет ее изучение.
Целью данной книги является изложение теории специальных функций с единой точки зрения при помощи теории представлений групп. Этот подход позволяет единым образом получать всевозможные соотношения между специальными функциями, как ранее известные, так и новые.
Книга предназначена для математиков, физиков (как теоретиков, так и экспериментаторов), научных работников в области техники, а также может быть использована аспирантами и студентами старших курсов университетов.
Содержание
Предисловие Введение
Глава I ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
§ 1. Основные понятия теории представлений
1. Определение
2. Матричная запись представлений
3. Эквивалентные представления
4. Сопряженные представления
5. Эрмитово-сопряженные представления. Унитарные представления
6. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления
7. Разложение представления в прямую сумму
8. Полная приводимость унитарных представлений
9. Кронекеровское умножение представлений
10. Характеры представлений
11. Инфинитезимальные операторы представления
§ 2. Группы преобразований и их представления
1. Группы преобразований
2. Транзитивные группы преобразований
3. Инвариантные меры
4. Представления групп операторами сдвига
5. Представления класса 1. Сферические функции
6. Индуцированные представления
7. Представления групп с операторным множителем
8. Некоторые примеры
§ 3. Инвариантные операторы и теория представлений
1. Операторы, перестановочные с представлениями
2. Лемма Шура
3. Следствия из леммы Шура
4. Инвариантные операторы
§ 4. Представления компактных групп
1. Матричные группы. Компактные и локально компактные группы
2. Полная приводимость представлений компактных групп
3. Ряды Фурье на компактных группах
4. Гармонический анализ функций на компактных группах
5. Разложение функций на однородных пространствах
6. Свертка функций на группе
7. Разложение центральных функций
Дополнение к главе I. Некоторые сведения о линейных пространствах
1. Кронекеровское или тензорное произведение линейных пространств и операторов
2. Операторы типа Гильберта — Шмидта
3. Тензорное произведение гильбертовых пространств
4. Счетно-гильбертовы пространства. Ядерные пространства
5. Ортогональная прямая сумма гильбертовых пространств
6. Непрерывная прямая сумма гильбертовых пространств
7. Разложение операторов в непрерывную прямую сумму операторов
Глава II
АДДИТИВНАЯ ГРУППА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛИ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЯДЫИ ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
§ 1. Показательная и тригонометрические функции
1. Неприводимые унитарные представления группы R
2. Группа вращений плоскости и тригонометрические функции
3. Группа гиперболических вращений плоскости и гиперболические
функции
4. Комплексная форма группы SO(2)
§ 2. Ряды Фурье
1. Инвариантное интегрирование на группе SO(2)
2. Тригонометрическая система функций. Ряды Фурье
3. Разложение регулярного представления группы SO(2)
4. Разложение бесконечно дифференцируемых функций
§ 3. Интеграл Фурье
1. Регулярное представление группы R
2. Преобразование Фурье и его свойства
3. Формула обращения
4. Формула Планшереля
5. Преобразование функций с интегрируемым квадратом
6. Интеграл Фурье для функций нескольких переменных
§ 4. Преобразование Фурье в комплексной области
1. Определение
2. Преобразование функций с интегрируемым квадратом
3. Преобразование Меллина
Глава III ГРУППА УНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА И
МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРАИ ЯКОБИ
§ 1. Группа SU(2)
1. Параметризация
2. Углы Эйлера произведения двух матриц
3. Алгебра Ли
4. Комплексификация
5. Связь с группой вращений
6. Углы Эйлера вращений
7. Сфера, как однородное пространство
§ 2. Неприводимые унитарные представления
1. Представления в пространствах однородных многочленов
2. Инфинитезимальные операторы представления
3. Неприводимость
4. Инвариантное скалярное произведение
5. Полнота системы представлений
§ 3. Матричные элементы представлений. Многочлены Лежандра и Якоби
1. Вычисление матричных элементов
2. Различные выражения матричных элементов
3. Выражение через углы Эйлера
4. Различные выражения функций
5. Частные значения
6. Соотношения симметрии
7. Матрицы
8. Соотношения обхода
9. Связь с классическими ортогональными многочленами
10. Многочлены Лежандра как зональные сферические функции
§ 4. Функциональные соотношения для функций
1 Теорема сложения
2. Теорема сложения для многочленов Лежандра
3. Формула умножения
4. Рекуррентные формулы
5. Дифференциальное уравнение
6. Инфинитезимальные операторы регулярного представления
7. Инфинитезимальные операторы и рекуррентные формулы
8. Оператор Лапласа
9. Дальнейшие рекуррентные соотношения
§ 5. Производящие функции для
1. Случай фиксированных
2. Рекуррентные формулы при различных значениях
3. Случай фиксированных тип
4. Интегральные представления Дирихле — Мерфи
5. Рекуррентные формулы для многочленов Лежандра
§ 6. Разложение функций на группе SU(2)
1. Инвариантная мера
2. Соотношения ортогональности для функций
3. Разложения в ряды по функциям
4. Некоторые подпространства функций
5. Разложение функций на сфере
6. Разложение полей величин на сфере
§ 7. Характеры представлений
1. Вычисление характеров
2. Ортогональность характеров
3. Разложение центральных функций
§ 8. Коэффициенты Клебша — Гордана
1. Кронекеровское произведение представлений
2. Базисы в пространстве
3. Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана
4. Соотношения симетрни
5. Некоторые частные значения
6. Разложение произведений функций
7. Связь с многочленами Якоби
8. Рекуррентные формулы
9. Производящая функция
Глава IV ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИИ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
§ 1.Группа М(2)
1. Определение
2. Параметризации
3. Алгебра Ли
4. Комплексификация
§ 2. Неприводимые унитарные представления группы М(2)
1. Описание представлений
2. Инфинитезимальные операторы
3. Неприводимость представлений
4. Представления скрещенных произведений
§ 3. Матричные элементы представлений TR(g) и функции Бесселя
1. Вычисление матричных элементов
2. Связь функций Бесселя с противоположными индексами
3. Разложение функций Бесселя в степенные ряды
§ 4. Функциональные соотношения для функций Бессепя
1. Теорема сложения
2. Формула умножения
3. Рекуррентные формулы
4. Дифференциальное уравнение
5. Производящая функция
6. Рекуррентные соотношения
§ 5. Разложения представлений группыМ(2) и преобразование Фурье — Бесселя
1. Квазирегулярное представление
2. Преобразование Фурье — Бесселя
3. Разложение квазирегулярного представления
4. Инфинитезимальные операторы
5. Разложение регулярного представления
§ 6. Произведение представлений
1. Кронекеровское произведение представлений TR(g)
2. Кронекеровское произведение и формула умножения
§ 7. Функции Бесселя и функции
1. Группа движений плоскости и группа вращений сферы
2. Функции Бесселя и многочлены Якоби
3. Асимптотическая формула для коэффициентов Клебша— Гордана
Глава V ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ ПСЕВДОЕВКЛИДОВОЙ
ПЛОСКОСТИИ ФУНКЦИИ ГАНКЕЛЯИ МАКДОНАЛЬДА
§ 1. Представления группы линейных преобразований прямой линии и Г-функция
1. Группа линейных преобразований прямой линии
2. Неприводимые представления группы
3. Приведение операторов к диагональному виду
4. Выражение ядра K(w, z; g) через Г-функцию
5. Свойства Г-функции
6. Теорема сложения для Г-функции и ее следствия
7. Бета-функция и формула удвоения для
8. Преобразование Фурье функций
9. Представления группы линейных преобразований прямой,
индуцированные одномерными представлениями подгруппы!
§ 2. Группа движений псевдоевклидовой плоскости
1. Псевдоевклидова плоскость
2. Группа
3. Параметризации группы
4. Алгебра Ли группы
§ 3. Представления группы
1. Неприводимые представления
2. Другая реализация представлений TR(g) группы МН(Т)
3. Унитарный случай
4. Функции Макдональда и Ганкеля
5. Выражение ядер представления через функцию Макдональда
6. Инфинитезимальные операторы представлений TR(g) и Q%(g)
7. Неприводимость представлений TR(g)
§ 4. Рекуррентные формулы и дифференциальное уравнение для функций Макдональда и Ганкеля
1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами
представления
2. Рекуррентные формулы
3. Дифференциальные уравнения для функций Макдональда и Ганкеля
4. Связь между функциями Ганкеля и функциями Бесселя
§ 5. Функциональные соотношения для функций Ганкеля и Макдональда
1. Вводные замечания
2. Интегральное представление
3. Разложение в степенные ряды
4. Преобразования Меллина
5. Преобразования Меллина (продолжение)
6. Теоремы сложения
7. Теоремы умножения
8. Взаимно обратные интегральные преобразования
§ 6. Разложение квазирегулярного представления группыМН(2~)
1. Квазирегулярное представление группы МН(2~)
2. Интегральные преобразования
Глава VI
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ QU(2) УНИМОДУЛЯРНЫХ КВАЗИУНИТАРНЫХ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКАИ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРАИ ЯКОБИ
§ 1. Группа QU(2)
1. Описание
2. Подгруппы группы SZ(2, R)
3. Параметризации группы QU(2)
4. Инвариантное интегрирование
5. Алгебра Ли
§ 2. Неприводимые представления группы QU(2)
1. Пространство
2. ПредставленияТ (g)
3. Инфинитезимальные операторы
4. Неприводимость
5. Целочисленные представления
6. Условия эквивалентности
7. Условия унитарности
8. Унитарно-сопряженные представления
§ 3. Матричные элементы представленийТ (g)
1. Вычисление матричных элементов
2. Выражение через углы Эйлера
3. Различные выражения функций P™(z)
4. Зональные сферические функции представлений Ty(g) и функции
Лежандра
5. Присоединенные функции Лежандра
6. Соотношения симметрии для функции
7. Функции P™(z) в целочисленном случае
§ 4. Функциональные соотношения для р^(сЬт)
1. Теорема сложения
2. Целочисленный случай
3. Теоремы сложения для функций Лежандра
4. Формула умножения
5. Рекуррентные формулы
6. Производящая функция
7. Континуальная производящая Функция
§ 5. Разложение регулярного представления группы QU(2)
1. Регулярное представление группы QU(2)
2. Рекуррентные соотношения и нифинитезимальные операторы
3. Разложение функций на группе QU(2)
4. Разложение регулярного представления группы QU(2) на неприводимые
5. Разложение индуцированных представлений группы QU(2)
6. Соотношения ортогональности для функций
Глава VII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ УНИМОДУЛЯРНЫХ
МАТРИЦИ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
§ 1. Гипергеометрическая функция
1. Определение
2. Некоторые соотношения
3. Некоторые интегралы, выражающиеся через гипергеометрическую
функцию
4. Выражение функций и многочленов Якоби через гипергеометрическую
функцию
§ 2. Группа SL(2, R) вещественных; унимодулярных матриц второго порядка
1. Вводные замечания
2. Параметризация
3. Алгебра Ли
§ 3. Неприводимые представления группы SL(2, R)
1. Описание
2. Другая реализация представленийТ (g)
3. Операторы второй реализации представленийТ (g)
4. Инфинитезимальные операторы
§ 4. Вычисление ядер представления RSg)
1. Вычисление K(A,(j.;%;h) и К(А,ц;%;и)
2. Случай треугольных матриц
3. Общий случай
4. Некоторые интегральные преобразования, связанные с
гипергеометрической функцией
§ 5. Рекуррентные формулы для гипергеометрической функции. Гипергеометрическое уравнение
1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами
представления
2. Рекуррентные формулы
3. Гипергеометрическое уравнение
§ 6. Интегральные представления и формула сложения для гипергеометрической функции
1. Вводные замечания
2. Интегральные представления
3. Преобразование Меллина
4. Теоремы сложения
§ 7. Представления группы вещественных матриц второго порядка и функции Ганкеля
1. Новая реализация представлений Ty(g)
2. Вычисление ядра оператора Qz(s)
Глава VIII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКАИ ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА
§ 1. Функции Уиттекера и вырожденная гипергеометрическая функция
1. Определение
2. Вырожденная гипергеометрическая функция
§ 2. Группа треугольных матриц третьего порядка и ее представления
1. Алгебра Ли
2. Разложение по однопараметрическим подгруппам
3. Неприводимые представления группы G1
4. Другая реализация представленийТ (g)
5. Инфинитезимальные операторы представлений Ryig)
6. Вычисление ядер представлений
§ 3. Функциональные соотношения для функций Уиттекера
1. Соотношения между нифинитезимальными операторами и операторами
представления
2. Рекуррентные соотношения
3. Дифференциальное уравнение Унттекера
4. Соотношения симметрии для функций Уиттекера
§ 4. Интегралы, связанные с функциями Уиттекера
1. Представление Меллина — Бернса
2. Преобразование Меллина по параметрам
3. Континуальные теоремы сложения
4. Двойственные формулы
5. Вырожденные случаи теорем сложения
§ 5. Многочлены Лагерра и представления группы комплексных треугольных матриц третьего порядка
1. Определение многочленов Лагерра
2. Группа комплексных треугольных матриц третьего порядка и
многочлены Лагерра
Глава IX ГРУППА ВРАЩЕНИЙ «-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВАИ ФУНКЦИИ ГЕГЕНБАУЭРА
§ 1. Группа SO(ti)
1. Сферические координаты
2. Описание группы SO(ti)
3. Углы Эйлера
4. Инвариантное интегрирование
§ 2. Представления класса 1 группы SO(ti) и гармонические многочлены
1. Квазирегулярное представление
2. Представления в пространствах однородных многочленов
3. Гармонические многочлены
4. Инвариантность подпространства
5. Гармоническая проекция многочлена. Представление в пространстве
гармонических многочленов
6. Каноническое разложение однородных многочленов
7. Разложение квазирегулярного представления
8. Разложение сужения представления P^(g) на подгруппу SO(rt-l)
9. Инфинитезимальные операторы представления P^(g)
10. Неприводимость представлений P^(g)
11. Полнота системы представлений P^(g)
§ 3. Зональные сферические функции представлений P^(g) и многочлены Гегенбауэра
1. Описание зональных сферических функций.
2. Дифференциальное уравнение и рекуррентные соотношения для
многочленов Гегенбауэра
3. Частные случаи и частные значения многочленов Гегенбауэра
4. Соотношения ортогональности для многочленов Гегенбауэра
5. Разложение пространства гармонических многочленов
6. Построение канонического базиса
7. Разложение функций на «-мерной сфере
§ 4. Матричные элементы нулевого столбца
1. Элементы «нулевого столбца» канонической матрицы
2. Теорема сложения для многочленов Гегенбауэра
3. Формула умножения для многочленов Гегенбауэра
4. Реализация представлений в пространстве функций от n — 1 переменного
5. Разложение пространства
6. Инвариантное скалярное произведение в пространстве
7. Интегральное представление многочленов Гегенбауэра
8. Связь между многочленами Гегенбауэра и присоединенными функциями
Лежандра
9. Некоторые разложения по многочленам Гегенбауэра
10. Другие интегральные представления многочленов Гегенбауэра
11. Некоторые интегралы, содержащие многочлены Гегенбауэра
12. Производящая функция для многочленов Гегенбауэра
§ 5. Сферические функции и оператор Лапласа. Полнсферические функции
1. Оператор Лапласа на сфере
2. Полнсферические координаты
3. Дифференциал длины дуги и оператор Лапласа в полнсферических
координатах
4. Собственные функции оператора Лапласа в полнсферических
координатах
Глава X
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ n-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВАИ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
§ 1. Псевдоевклидово пространство и гиперболические вращения.
1. Псевдоевклидово пространство.
2. Группа Sff(ti)
3. Пространство Лобачевского
4. Углы Эйлера в группе Sff(ti)
§ 2. Представления класса 1 группы Sff(ti)
1. Описание представлений 7o(g)
2. Сопряженные представления
3. Неприводимость представлений при не целых а
4. Приводимость представления при целых значениях а
5. Условия унитарности представления
6. Эквивалентность представлений
§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы SH(ri)
1. Построение базиса в пространстве ?D
2. Интегральное представление зональных и присоединенных; сферических
функций
3. Выражение зональной функции через гипергеометрическую функцию
4. Вычисление присоединенных сферических функций
5. Теорема сложения для функций Лежандра
6. Теорема умножения для функций Лежандра
7. Производящая функция для присоединенных функций Лежандра
§ 4. Разложения представлений группы SH(ri) и преобразование Фока — Мелера
1. Вводные замечания
2. Инвариантное интегрирование в пространстве Лобачевского и на
орисферах
3. Интегральное преобразование Гельфанда — Граева
4. Квазирегулярное представление группы SH(ri)
5. Интегральные преобразования функций на гиперболоиде § 5. Оператор Лапласа на гиперболоиде. Полисферические и
орисферические функции на гиперболоиде
1. Оператор Лапласа на гиперболоиде
2. Полисферические координаты на гиперболоиде [х, х] = 1.
3. Орисферические координаты на гиперболоиде
4. Разделение переменных в орисферических координатах
Глава XI ГРУППА ДВИЖЕНИЯ n-МЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА И
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ § 1. Группа § 2. Непрнаодимые представления класса 1 группы M(ti)
1. Описание представлений TR(g)
2. Неприводимость представлений TF(g)
§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы M(ti)
1. Базис в пространстве ^(S5^1)
2. Вычисление зональных сферических функций
3. Присоединенные сферические функции
4. Теорема сложения для функций Бесселя
5. Теорема умножения для функций Бесселя
6. Производящая функция для функций Бесселя
7. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя
§ 4. Предельный переход по размерности пространства. Многочлены Эрмнта
1. Многочлены Эрмнта, как предел многочленов Гегенбауэра
2. Некоторые свойства многочленов Эрмита
3. Соотношения ортогональности для многочленов Эрмнта
4. Преобразование Фурье функций е 2 Яп(х)
5. Предельный переход по размерности для группы M(ti) Литература
Примечания и литературные указания Указатель важнейших обозначений Предметный указатель
Предметный указатель
А
Абсолют пространства Лобачевского Алгебра Ли матричная Антипериодическая функция
Б
Базис — биортогональный — канонический Базисы в пространстве Бесконечно дифференцируемая функция Бесселя функции -- дифференциальное уравнение -- интегральное представление -- производящая функция -- разложение в ряд -- рекуррентные соотношения --с противоположными индексами -- связь с многочленами Якоби и Лежандра -- — с функциями Ганкеля -- теорема сложения -- формулы умножения Бета-функция — выражение через гамма-функцию Быстро убывающая функция
В
вектор инвариантный относительно подгруппы Вершина дерева Вес представления Вигнера символ Вращение гиперболическое — евклидова пространства — орисферическое — трехмерного пространства
Г
Гамма-функция — свойства — — формула дополнения — — сложения — — удвоения Ганкеля функции -- интегральное представление ---интегральные преобразования — --первого и второго рода --разложение в ряд --рекуррентные формулы --связь с функциями Бесселя --теоремы сложения --умножения Гармоническая проекция однородного многочлена Гармонический анализ функций на компактных группах — многочлен Гегенбаузра многочлены -- дифференциальное уравнение -- интегральные представления - -- производящая функция -- рекуррентные соотношения -- связь с присоединенными функциями Лежандра -- соотношения ортогональности -- теорема сложения -- формулы сложения и умножения — -- частные случаи Гельфанда—Граева интегральное преобразование Гиперболический косинус синус Гипергеометрическая функция --вырожденная Гипергеометрическая функция интегральные представления -- — преобразования -- преобразование Меллина -- разложение в ряд -- рекуррентные соотношения — -- теоремы сложения Гипергеометрическнй ряд --вырожденный Гипергеометрическое дифференциальное уравнение ~ вырожденное Группа вещественных унимодулярных матриц второго порядка --чисел аддитивная (группа R) — Ли линейная — линейных преобразований прямой — матричная --компактная --локально компактная — непрерывная — преобразований ----транзитивная --эффективная — треугольных матриц третьего порядка ~ алгебра Ли — М() -- алгебра Ли -- комплексифнкация -- параметризации — М( С) — М{п) -- параметризация — МН() -- алгебра Ли -- параметризация -- подгруппа гиперболических вращений — g ?() -- алгебра Ли -- инвариантное интегрирование -- оператор Лапласа -- отображение в группу SH(~) -- параметризации -- разложение функции — R вещественных чисел —Я — Sff() — SH() — ?№/ -- углы Эйлера Группа SZ( С) — ^(^) — SL( R) алгебра Ли -- параметризация -- подгруппы SO() SH{\ Z — () -- интегрирование -- комплексифнкация — SO( С) — SO() — SO» -- инвариантная мера -- инвариантное интегрирование --I углы Эйлера — -- алгебра Ли -- комплексифнкация -- оператор Лапласа -- характер представления Г/(ы) — Групповое кольцо группы Группы локально изоморфные
Д
Движение евклидовой плоскости — псевдоевклидовой плоскости — n-мерного евклидова пространства Дерево Дирихле—Мерфи интегральные представления
З
Зональные сферические функции ~ выражение через функции Бесселя и гипергеометрические ~ интегральное представление ~ представления
И
Инвариантная мера на группе SU(T) Интеграл по мере свойство инвариантности — Фурье функций нескольких переменных Интегральное преобразование Гельфанда—Граева Интегрирование на группе SO(T)
К
Каноническое разложение многочлена Класс транзнтнвности Клебша—Гордана коэффициенты см. коэффициенты Клебша— Гордана --ряд Коммутатор Конуса функции Координата существенно предшествующая последующая Координаты бисферические — гиперболические — орисферические на гиперболоиде — подчиненные — полисферические -- дифференциал дуги --на гиперболоиде -- связь с декартовыми — сферические Коэффициенты Клебша—Гордана -- асимптотическая формула -- вычисление -- представление в виде суммы -- производящая функция -- рекуррентные соотношения -- связь с функциями fimn(?) -- соотношения симметрии — -- частные значения — Лежандра — Фурье свертки --функцииДф) Кронекера символ Кронекеровское произведение линейных пространств --операторов --представлений -- разложение на неприводимые представления --rff(g)
Л
Лагерра многочлены -- соотношение ортогональности -- теорема сложения Лапласа оператор см. оператор Лапласа Лежандра коэффициенты — многочлены — -- выражение через гипергеометрическую функцию -- дифференциальное уравнение -- интегральные представления Лежандра многочлены как зональные сферические функции --ортогональность --производящая функция --разложение в ряд Фурье --рекуррентные формулы --связь с функциями Бесселя --теорема сложения — присоединенные функции -- выражение через гипергеометрическую -- дифференциальное уравнение -- производящая-функция -- рекуррентные соотношения -- связь с многочленами Гегенбауэра -- соотношения симметрии -- теоремы сложения и умножения — функции -- дифференциальное уравнение -- производящая функция континуальная -- рекуррентные соотношения -- теоремы сложения и умножения Лемма Шура -- следствия Ли линейная группа — матричная алгебра Лобачевского пространство
М
Макдональда функции -- взаимно обратные интегральные преобразования -- дифференциальное уравнение -- интегральное представление -- интегральные преобразования — -- преобразования Меллина -- разложение в ряд -- рекуррентные формулы -- теоремы сложения -- — умножения Матрица каноническая -- матричные элементы — касательная — квазнунитарная унимодулярная второго порядка — унитарная и (ср ф) Матричная группа см. группа матричная Мелера— Фока преобразование Меллина преобразование Мера инвариантная --слева справа Многочлен см. соответствующее название
Н
Неймана функция -- разложение в ряд
О
Однородная функция Однородный многочлен каноническое разложение Оператор антилинейный — волновой — инвариантный относительно преобразований группы — нифинитезимальный — Лапласа --в полисферических координатах --в сферических координатах --на гиперболоиде --на единичной сфере --на сфере — перестановочный с представлениями — разложение в непрерывную прямую сумму операторов — типа Гильберта—Шмидта — эрмитово-сопряженный — Ат Орисферические функции Ортогональное дополнение подпространства
П
Парсеваля равенство --для центральных функций Планшереля формула Подгруппа массивная — однопараметрическая — стационарная точки Подпространство дополнительное — инвариантное — тривиальное —j Показательная функция Поле величины на сфере Полисферические функции Полная система попарно неэквнв алентных неприводимых унитарных представлений группы Полугруппа Предел в среднем Представление группы --бесконечномерное --вполне приводимое --единичное --индуцированиое ---класса относительно подгруппы --конечномерное -- матричная запись --неприводимое --«-мерное --приводимое --операторно неприводимое --оператором сдвига -- разложение в прямую сумму --регулярное левое правое --скрещенных произведений --сопряженное --точное --тривиальное --унитарное -- полная приводимость --эрмитово-сопряженное Представления группы линейных преобразований прямой --с операторным множителем --треугольных матриц третьего порядка неприводимые -- эквивалентные между собой --М() квазирегулярные --неприводимые — --М() неприводимые --МЯ() --квазирегулярные --неприводимые --QU() индуцированные -- нифинитезимальные операторы --квазирегулярные --неприводимые -- приводимость --регулярные --унитарно сопряженные --унитарные основной и дополнительной серий — --частично эквивалентные --Л --Rn регулярные --SH(T) --SH(n) --квазирегулярные -- неприводимость Представления группы SH(ri) приводимость --серий дискретной дополнительной основной -- сопряженность -- унитарность -- эквивалентность --SL(C)U --SL( R) --() --SO(ri) в пространствах гармонических и однородных многочленов -- нифинитезимальные операторы --квазирегулярные --неприводимые --SU() инвариантное скалярное произведение -- нифинитезимальные операторы --неприводимые — --регулярные — компактных групп полная приводимость Преобразование интегральное функций на гиперболоиде — Мелера—Фока — Меллина -- аналог формулы Планшереля -- формула обращения --функции Rx(g)(p(x) — множества — функций с интегрируемым квадратом — Фурье --в комплексной области -- формула обращения — --функций нескольких переменных --с интегрируемым квадратом --— Фурье-Бесселя -- аналог формулы Планшереля -- формула обращения Присоединенные сферические функции -- вычисление -- интегральное представление — функции Лежандра -- дифференциальное уравнение Присоединенные функции Лежандра ортогональность -- производящая функция -- рекуррентные соотношения Произведение гильбертовых пространств тензорное — групп скрещенное (полупрямое) — линейных пространств кронекеровское (тензорное) — операторов кронекеровское (тензорное) — представлений кронекеровское (тензорное) Производящая функция Пространство гильбертово — инвариантное относительно движений — линейное «-мерное --унитарное — Лобачевского -- инвариантное интегрирование по орисфере — однородное — однородных гармонических многочленов --многочленов — полное — представления — псевдоевклидово — сопряженное — счетно-гильбертово — ядерное — канонический базис — Прямая сумма гильбертовых пространств непрерывная ~ ортогональная Псевдоевклидова плоскость -- аналог полярной системы координат -- расстояние между точками Псевдосфера — расстояние между точками
Р
Разложение по многочленам Гегенбауэра — по функциям Ртп(х) Разложение по функциям Якоби — полей на сфере — произведений функций Plmn(z~) — функций на группе SU() --на однородных пространствах --на сфере Ряд Клебша Гордана — Фурье --на компактных группах
С
Свертка функций Символ Вигнера Символическая степень Система функций ортонормированиая След матрицы Специальные функции математической физики Сужение представления Сумма подпространств прямая — представлений прямая ~ ортогональная Сфера — единичная S Сферические зональные функции см. зональные сферические функции — координаты —присоединенные функции см. присоединенные сферические функции — функции Сходимость в среднем — матриц
Т
Тригонометрические функции
У
Углы Эйлера --вращений --гиперболического вращения --комплексные --произведения двух матриц Унттекера дифференциальное уравнение — функции -- двойственные формулы -- дифференциальное уравнение -- континуальные теоремы сложения -- представления Меллина— Бернса -- преобразования Меллина по параметрам Уиттекера функции разложение в ряд -- рекуррентные соотношения — -- соотношения симметрии Условно периодическая функция
Ф
Фактор-пространство Финитная функции Формула см. соответствующее название Фундаментальная последовательность элементов Функции см. соответствующее название — на окружности четная нечетная — Plmn(z) -- дифференциальное уравнение -- интегральные представления -- производящие функции -- разложение в ряды по -- -- — их произведений -- — по присоединенным функциям Лежандра -- рекуррентные соотношения — -- связь с коэффициентами Клебша—Гордана -- с многочленами Якоби -- соотношения обхода -- — ортогональности -- — симметрии -- теорема сложения -- формула умножения -- частные значения — х"\' и У;" Фурье коэффициенты — преобразование — ряд Фурье—Бесселя преобразование
Х
Хансена формула Характер представления
Ц
Целая аналитическая функция экспоненциального типа Центральная функция -- разложение в ряд Цилиндрические функции -- дифференциальное уравнение
Ч
Чебышева многочлен первого рода
Ш
Шура лемма
Э
Эйлера углы см. углы Эйлера — формулы Эквивалентность представлений Эрмита многочлены -- дифференциальное уравнение --как предел многочленов Гегенбауэра -- производящая функция -- рекуррентные соотношения -- соотношения ортогональности -- формулы сложения и умножения
Я
Якоби многочлены Якоби многочлены выражение через гипергеометрическую функцию -- ортогональность -- связь с функциями Бесселя — функции -- выражение через гипергеометрическую -- дифференциальное уравнение -- интегральные представления — -- производящая функция ----континуальная -- рекуррентные соотношения -- соотношения ортогональности -- — симметрии -- теоремы сложения и умножения
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
