|
Геометрические методы математической физики. Автор Б.Шутц
| | Написанное английским математиком введение в геометрические методы математической физики. Содержит основные сведения по дифференциальной геометрии вплоть до понятий римановой геометрии и общей теории связностей, а также некоторые физические приложения,— в частности, из общей теории относительности и теории калибровочных полей
Для математиков и физиков, желающих ознакомиться с приложениями геометрии в математической физике.
Оглавление
От редактора перевода Предисловие
1. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Пространство Rn и его топология
1.2. Отображения
1.3. Вещественный анализ (вещественные функции вещественных переменных)
1.4. Теория групп
1.5. Лниейиая алгебра
1.6. Алгебра квадратных матриц
1.7. Библиография
2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯИ ТЕНЗОРЫ
2.1. Определение многообразия
2.2. Сфера как многообразие
2.3. Другие примеры многообразий
2.4.О свойствах многообразий "в целом"
2.5. Кривые
2.6. Функции наМ
2.7. Векторы и векторные поля
2.8. Базисные векторы и базисные векторные поля
2.9. Расслоенные пространства
2.10. Примеры расслоенных пространств
2.11. Более глубокий взляд на расслоенные пространства
2.12. Векторные поля и интегральные кривые
2.13. Экспонента от оператора d/dA
2.14. Скобки Лии некоордниатные базисы
2.15. Когда базис является координатным
2.16. Одни-формы
2.17. Примеры одни-форм
2.18. Дельта-функция Дирака
2.19. Градиент и наглядное изображение одни-форм
2.20. Базисные одни-формы и компоненты одни-форм
2.21. Индексные обозначения
2.22. Тензоры и тензорные поля
2.23. Примеры тензоров
2.24. Компоненты тензоров и тензорное произведение
2.25. Свертка
2.26. Замена базиса
2.27. Геизорные операции над компонентами
2.28. Функции и скаляры
2.29. Метрический тензор в векторном пространстве
2.30. Поле метрического тензора на многообразии
2.31. Специальная теория относительности.
2.32. Библиография
3. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛИИ ГРУППЫ ЛИ
3.1. Введение как векторное поле отображает многообразие в себя
3.2. Действие переноса Ли на функции
3.3. Действие переноса Ли на векторные поля
3.4. Производные Ли
3.5. Производная Ли одни-формы
3.6. Подмногообразия
3.7. Теорема Фробениуса на языке векторных полей
3.8. Доказательство теоремы Фробениуса
3.9. Пример: генераторы вращений
3.10. Инвариантность
3.11. Векторные поля Киплинга
3.12. Векторы Киллингаи сохраняющиеся величины в динамике частицы
3.13. Осевая симметрия
3.14. Абстрактные группы Ли
3.15. Примеры групп Ли
3.16. Алгебры Лии отвечающие им группы Ли
3.17. Реализации и представления
3.18. Сферическая симметрия, сферические гармоники и представления группы вращений
3.19. Библиография
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
А. Алгебра и интегральное исчисление форм
4.1. Определение объема- геометрическая роль дифференциальных форм
4.2. Обозначения и определения, касающиеся антисимметричных тензоров
4.3. Дифференциальные формы
4.4. Обращение с дифференциальными формами
4.5. Ограничение форм
4.6. Поля боом
4.7 Ориентируемость
4.8. Объемы и интегрирование на ориентируемых многообразиях
4.9. N-векторы, дуальные величины
4.10. Тензорные плотности
4.11. Обобщенные символы Кронекера
4.12. Определители
4.13. Метрический элемент объема
В. Дифференциальное исчисление форм и его приложения
4.14. Внешняя производная
4.15. Обозначения для частных производных
4.16. Хорошо знакомые примеры внешнего дифференцирования
4.17. Условия интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных
4.18. Точные формы
4.19. Доказательство локальной точности замкнутых форм
4.20. Производные Ли от форм
4.21. Производные Ли и внешние производные коммутируют
4.22. Теорема Стокса
4.23. Теорема Гаусса и определение дивергенции
4.24. Краткий экскурс в теорию когомологий
4.25. Дифференциальные формы и дифференциальные уравнения
4.26. Теорема Фробениуса на языке дифференциальных форм
4.27. Доказательство эквивалентности двух вариантов теоремы Фробениуса
4.28. Законы сохранения
4.29. Векторные сферические гармоники
4.30. Библиография
5. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
A. Термодинамика
5.1. Простые системы
5.2. Тождества Максвелла и другие математические тождества
5.3. Композитные термодинамические системы, теорема Каратеодори
B. Гамильтонова механика
5.4. Гамильтоновы векторные поля
5.5. Канонические преобразования
5.6. Соответствие между векторами и одни-формами, устанавливаемое
формой б
5.7. Скобка Пуассона
5.8. Многочастичные системы, симплектические формы
5.9. Линейные динамические системы, симплектическое скалярное
произведение и сохраняющиеся величины
5.10. Уравнения Гамильтона и расслоения
C. Электромагнетизм
5.11. Уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм
5.12.Заряд и топология
5.13. Вектор потенциал
5.14. Плоские волны простой пример
D. Динамика идеальной жидкости
5.15. Роль производных Ли
5.16. Полная производная по времени
5.17. Уравнение движения
5.18. Сохранение вихрей
E. Космология
5.19. Космологический принцип
5.20. Алгебра Ли максимальной симметрии
5.21. Метрика сферически-симметричного трехмерного пространства
5.22. Построение шести векторов Киллинга
5.23. Открытая, замкнутая и плоская Вселенные
5.24. Библиография
6. СВЯЗНОСТИ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХИ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ
6.1. Введение
6.2. Параллельность на искривленных поверхностях
6.3. Ковариантная производная
6.4. Компоненты, ковариантные производные базиса
6.5. Кручение
6.6. Геодезические
6.7. Нормальные координаты
6.8. Тензор Римана
6.9. Геометрическая интерпретация тензора Римана
6.10. Плоские пространства
6.11. Согласованность связности с объёмом или метрикой
6.12. Метрическая связность
6.13. Аффнииая связность и принцип эквивалентности
6.14. Связности и калибровочные теории на примере электромагнетизма
6.15. Библиография
Приложение . Решения и указания к некоторым упражнениям Литература , добавленная при переводе Именной указатель Предметный указатель Указатель обозначений
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
б
Болл (S. Ball)
г
Галилей
Д
Декарт де Рам (G. de Rham) Дирак
К
Каратеодори (С. Caratheodory) Картан (Е. Cartan) Кеплер Коминз (N. Comins) Коперник
Л
Ли (S. Lie)
М
Мниковский (Н. Minkowski)
Н
Ньютон
О
Оуэн (J Owen)
П
Птолемей
С
Соркии (R. Sorkin)
Т
Торн (К. Thome)
У
Уилер (J. A. Wheeler) Уилкнисон (М. Wilkinson) Уэйд (В. Wade)
Ф
Фрэдмэн (J. Friedman)
Ш
Шутц(В. Schutz) б
Э
Эйнштейн Эстабрук (P. Estabrook)
Предметный указатель
А
абелева алгебрами —группа автоморфизм внутренний аксиальная симметрия алгебра Гроссмана —Ли ---абелева (коммутативная) ---векторных полей ---группы Ли алгебраическое дополнение аналитическая функция аналитическое многообразие аннулирует аннулятор набора форм антидифференцирование антисимметричная ЧАСТЬ антисимметричный тензор антнэрмитова матрица атлас аффнииая связность аффинный параметр
Б
база расслоения базис —двойственный (дуальный) —декартов —координатный —левозакрученный —лореицев —ортонормированный —правозакрученный —^;евдиав±иидив оо Бетти число биекция большой взрыв бра-вектор Бьянки тождества Бейля тензор
В
вектор —ковариантный —контр авариантный —N-вектор вектор-градиеит векторное поле ---гамильтоново ---Киплинга ПА ---левоинвариантное —произведение ---двойное —пространство вектор-потенциал вес взаимно-однозначиое отображение вихрь внешне ориентируемое многообразие внешнее произведение внешняя ориентация —производная внутренний автоморфизм времени-подобная кривая Вселенная —замкнутая —открытая —плоская выделенная форма объёма
Г
Гамильтона функция —уравнения движения гамильтоново векторное поле гармоника осевая векторная — ---скалярная —сферическая ---векторная — Гаусса теорема Гельмгольца теорема о циркуляции генерирует геодезическая геодезически полное многообразие гиперповерхность главное расслоенное пространство гомеоморфизм гомоморфизм гравитационное поле градиент грассманова алгебра группа —абелева (коммутативная) —изотропии —когомологий де Рама —Ли —Лоренца —несвязная —ортогональная —полная линейная —специальная ортогональная ---унитарная —структурная —унитарная
Д
двойное векторное произведение двойственное пространство двойственность двойственный базис де Рама группа когомологий ---теорема девиация геодезических действие группы транзитивное декартов базис декартово произведение дельта-символ дельта-функция детерминант дивергенция —ковариантная ю-дивергенция динамическая система ---линейная Дирака дельта-функция дискретное множество диффеоморфизм дифференциальная структура —форма дифференциальный идеал дифференцируемость класса Ск дуализация дуальное пространство дуальный базис —тензор
Е
единица естественные координаты
Ж
жорданова форма
З
закон преобразования ---ковариантный ---контр авариантный —сохранения замкнутая Вселенная —система (в термодинамике) —форма замкнутый набор форм
И
идеал дифференциальный —полный идеальная жидкость изоморфизм групп изотропии группа изотропное многообразие импульс U-импульс канонический инвариантное подпространство инвариантность
К
калибровочная —относительно векторного поля ---переносами индуцирует (топологию) интеграл от формы интегральная кривая —поверхность нифинитезимальный генератор —дифференциал инъективное отображение калибровочная два-форма кривизны —инвариантность калибровочное преобразование калибровочио-ковариантная производная калибровочио-плоский калибровочные теории каноническая форма матрицы канонический U-импульс каноническое преобразование Каратеодори теорема карта касательное пространство —расслоение касательный вектор —пучок квадратично-интегрируемая функция кет-вектор Кгиишнга вектор(ное поле) —уравнение ковариантная дивергенция —производная ковариантный вектор когомологий группа —теория кокасательное расслоение коммутативная алгебрами —группа коммутатор —матричный коммутирующие операторы композитная система композиция компонента единицы связная компоненты вектора —одни-формы —преобразования (оператора —тензора конгруэнция консервативная система контр авариантный вектор конфигурационное пространство координатный базис координаты —естественные —нормальные Коперника принцип космологический принцип космология изотропная —однородная кососимметричный тензор кососкалярное произведение кривая —параметризованная кривизна Кристоффеля символы Кронекера символ ---обобщённый кручение
Л
Лагранжа уравнение движения —функция Леви-Чивиты символы левозакрученный базис левоинвариантное векторное поле Лейбнгща формула лемма Пуанкаре Ли алгебра —группа —производная —скобка ли-инвариантность лилейная комбинация —независимость линейное преобразование линейность (полилинейность) ли-перенос лист слоения ли-тянутая конгруэнция —функция ли-тянутое векторное поле —поле одни-форм Лиувилля теорема локальная тривиальность расслоения локально-плоское метрическое тензорное поле Лоренца группа —преобразование лореицев базис
М
Максвелла тождества —уравнения максимально-симметричное многообразие матрица —антнэрмитова —вырожденная —единичная —невырожденная —преобразования —обратная —транспонированная матричное произведение метрика —индефинитная —Минковского —эвклидова метрическая связность метрический тензор Мёбиуса лист Минковского метрика —пространство многообразие —аналитическое —внешне ориентируемое —геодезически полное —гладкое —дифференцируемое —изотропное —класса С* —максимально-симметричное —однородное —односвязное —ориентируемое —симплектическое —сферически-симметричное С^ -многообразие модель заряда Соркииа ---Уилера мультипликативность
Н
на накрывает накрытие двулистное непрерывность несвязная группа норма —эвклидова нормальные координаты нормированное векторное пространство нуль-форма
О
область определения обобщённая функция образ образующие обратное отображение обратный элемент объём объёма форма ---выделенная —элемент ограничение формы одни-форма однопараметрическая подгруппа однородное многообразие односвязное многообразие окрестность оператор —момента импульса определитель опускание индексов ориентация внешняя ориентируемое многообразие ориентируемость ортогональная группа ортонормированный базис осевая гармоника векторная — ---скалярная —симметрия осевое собственное значение отделимость открытая Вселенная открытое множество отношение эквивалентности отображение —взаимно-однозначиое —дуализации --отображение отражение
П
параллелограмма тождество параллельный перенос параметр —аффинный перенос вдоль конгруэнции —Ли —параллельный плоская Вселенная плоское пространство плотность скалярная —тензорная площадь — повторяющиеся индексы подгруппа —однопараметрическая подмногообразие —поднятие индексов подобия преобразование подпространство поле векторное —дифференцируемое —тензорное —форм полилинейность полная линейная группа п-мерного вещественного пространства —----комплексного пространства —производная по времени —система функции полный идеал (набора форм) порождает правило запятой —разложения по строке —сумирования Эйнштейна правозакрученный базис представление —двузначное —неприводимое —присоединённое —спииорное —фундаментальное преобразование калибровочное —каноническое —координат —Лоренца —присоединённое принцип заурядности —Коперника —космологический —минимальной связи —эквивалентности сильный присоединённая реализация присоединённое представление —преобразование проекция расслоения произведение векторное —внешнее —кососкалярное —прямое —тензорное производная внешняя —калибровочио-инвариантная —ковариантная —.Яы —полная (по времени) производящие функции канонических преобразований прообраз пространственио-подобная кривая пространственно-подобное многообразие пространство конфигурационное —фазовое прямое произведение псевдонорма псевдоэвклидов базис Пуанкаре лемма Пуассона скобка
Р
размерность векторного пространства —многообразия ранг тензора распределение на многообразии т-мерное —(обобщённая функция) расслоение —касательное —кокасательное —реперов и()-расслоение расслоенное пространство ---главное расширение оператора реализация —главная —присоединённая —прогрессивная —регрессивная —точная Римана тензор Риччи тензор ротор
С
свертка связная компонента единицы связность аффнииая. связность метрическая связность симметричная сдвиг левый —правый сечение расслоения сигнатура метрики —поля сильный принцип эквивалентности символы Кристоффеля —Кронекера обобщённые —Леви-Чивиты симметричная связность —ЧАСТЬ симметричный тензор симметрия аксиальная —осевая —сферическая —цилиндрическая симплектическая форма симплектическое многообразие —скалярное произведение скаляр скалярная плотность скалярное произведение ---симплектическое скобками —Пуассона след слепляющее отображение слоение слой собственное значение ---осевое собственный вектор согласованность карт —Уи g —V и ЕВ (^-согласованность сопряжённое пространство Соркина модель заряда сохраняющиеся величины специальная ортогональная группа —унитарная группа спин спинор спинорное представление стереографическая проекция Стокса теорема структурная группа структурные константы сужение формы сферическая гармоника ---векторная — —симметрия сферически-симметричное многообразие сюръективное отображение
Т
температура тензор —антисимметричный —Бейля —дуальный —кососимметричный —кручения —метрический —напряжений —нулевой —Римана. —Риччи —симметричный (N'\ —типа N/N' —Эйнштейна (N'\ -тензор N/N' тензорная операция тензорное поле ---инвариантное относительно векторного поля —произведение —равенство —уравнение теорема Гаусса —Гелъмголъца с циркуляции —де Рама —Каратеодори —Лиувшля —о дивергенции ---неподвижной точке на сфере —об изменении полного заряда ---обратной функции —Стокса —Фробениуса на языке векторных полей — -----дифференциальных форм —Эртеля теория когомологий тождества?ьян;ш —Максвелла тождественное преобразование тождество Якоби топологическое пространство топология —глобальная —локальная точная форма транзитивное действие тривиальность расслоения ---локальная ---глобальная тэйлорово разложение
У
увлечение Угшера модель заряда унитарная группа уравнение девиации геодезических —Киплинга —Клейна—Гордона —неразрывности —Эйлера (движения жидкости) уравнение Максвелла
Ф
фазовое пространство факторпространство Фарадея тензор — форма (дифференциальная) —замкнутая —объёма ---выделенная —симплектическая —точная р-форма -форма Фробениуса теорема на языке векторных полей —-----дифференциальных форм фундаментальное представление функциональное пространство функция —аналитическая —Гамильтона —дифференцируемая —класса Ск —Лагранжа —обобщённая Ск -функция Сф -функция С™-функция
Х
хаусдорфовость
Ц
цилиндрическая симметрия
Ч
число Бетти
Э
эвклидова метрика эвклидово пространство Эйлера уравнение (движения жидкости) Эйнштейна правило суммирования —тензор экспонента от оператора d/dX экспоненциальное отображение элемент объёма энтропия Эртеля теорема
Я
Якоби матрица —тождество якобиан Ск -многообразиеС -согласованность Ск -функция Сф -функция- С™-функция N-вектор (N\ - тензор N/N' р-дельта (-символ) р-мерная группа когомологий р-форма fZ-импульс канонический U(T) -расслоение ю-дивергенция -форма --отображение
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
