|
Пуассоновы структуры и алгебры Ли в Гамильтоновой механике. Авторы А.В.Борисов, И.С.Мамаев
| | Книга посвящена одному из актуальных направлений в современной теоретической физике - пуассоновым структурам и их приложениям к различным проблемам гамильтоновой механике. Эти задачи возникают в динамике твердого гела, небесной механике, теории вихрей, космологических моделях. Как правило, уравнения движения таких систем можно записать в удобной полиномиальной [алгебраической) форме. Эта форма тесно связана с возможностью представления уравнений движения в виде уравнений Гамильтона с линейной пуассоновой структурой, связанной с некоторой алгеброй Ли. Обсуждаются также нелинейные пуассоновы структуры, связанные с бесконечномерными алгебрами Ли, указаны наиболее типичные случаи их возникновения. Для исследования полученных уравнений применяется метод Пеилеве-Ковалевской. Указаны новые случаи ннтегрпруемости уравнений динамики и изоморфизмы между различными ннтегрпруемыми проблемами.
Для специалистов в области механики и математики, занимающихся теорией динамических систем, студентов и аспирантов университетов.
Содержание
Введение
Глава 1. Скобки Пуассоиа и гамильтоиов формализм
§1. Определение и примеры скобок Пуассона. Скобки Ли-Пуассона
1. Скобки Пуассона и их свойства
2. Певырожденная скобка. Симплектическая структура
3. Симилектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу
4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки
5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с гироскопическими силами
6. Скобка Ли-Пуассона
7. Приложения к механике
8. Квадратичные скобки Пуассона
§2. Тензорные инварианты динамических систем
§3. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем. Алгебра интегралов
§4. Представление Лакса-Гейзенберга
1. Определение. Полупростые алгебры Ли
2. Представление со спектральным параметром
3. Гамильтоновость уравнений Лакса
4. Примеры
§5. Бигамильтоновы системы
1. Певырожденные бигамильтоновы системы
2. Вырожденные бигамильтоновы системы
3. Лиевы пучки
4. Метод сдвига аргумента
5. г-матрица
6. Примеры бигамильтоновых систем §6. Уравнения Пуанкаре-Четаева
1. Уравнения Пуанкаре
2. Гамильтонова форма. Уравнения Пуанкаре-Четаева
3. Уравнения Пуанкаре-Четаева на группе Ли
4. Инвариантная мера
§7. Показатели Ковалевской, интегрируемость и гамильтоновость
1. Квазиоднородные системы. Показатели Ковалевской
2. Уравнения Гамильтона
3. Инвариантная мера
4. Примеры
§8. Редукции пуассоновых структур
1. Понижение порядка - алгебраический аспект
2. Общая процедура редукции
3. Алгебраические алгоритмы редукции
4. Дополнительные замечания
§9. Скобка и редукция Дирака
1. Процедуры ограничения и скобка Дирака
2. Редукция Дирака
3. Трансверсальная структура и сингулярные орбиты
4. Вырожденные лагранжианы и гамильтонов формализм со связями
5. Голономные связи. Сравнение с классическим описанием
6. Динамика малых масс
7. Дополнительные возможности
Глава 2. Скобки Пуассона в дннамнке твердого тела
§1. Классические формы уравнений динамики твердого тела
1. Уравнения движения в направляющих косинусах
2. Уравнения Эйлера-Пуассона
3. Уравнения Кирхгофа
4. Уравнения Пуанкаре-Ламба-Жуковского
5. Многомерные обобщения
§2. Кватернионное представление уравнений движения
1. Параметры Родрига-Гамильтона
2. Уравнения движения
3. Представление на алгебре е(4)
§3. Движение в суперпозиции однородных силовых полей. Приведение
1. Приведение к трем взаимоортогональным полям
2. Особые случаи
§4. Метод Ковалевской-Ляпунова и интегрируемые случаи
1. Динамически несимметричный случай
2. Обобщение интеграла Гесса-Аппельрота
3. Случай динамической симметрии
4. Обобщение случая Ковалевской
5. Обобщение случая Делоне
6. Известные случаи интегрируемости
7. Неинтегрируемость и теоремы несуществования
§5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка
1. Редукция по углу прецессии
2. Редукция по переменной \|/ + ф. Нелинейная алгебра скобок
Нуассона
3. Алгебраические преобразования
4. Относительные равновесия и аналог конуса Штауде
5. Система Леггетта
§6. Изоморфизмы интегрируемых случаев
1. Изоморфизм между обобщенным случаем Ковалевской и случаем Чаплыгина для уравнений Кирхгофа
2. Задача Якоби на трехмерном эллипсоиде и система Клебша-Нереломова
3. Аналогия между волчком Лаграижа и системой Леггетта
§7. Нринцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере
1. Метрики на двумерной сфере S2
2. Геодезические потоки на S3
§8. Ограничение пуассоновой структуры и канонические переменные
§9. L-A-пары и бигамильтоновость: лиевы пучки
1. Многомерное обобщение волчка Эйлера
2. Многомерное обобщение случая Клебша
3. Система Жуковского-Вольтерра
4. Обобщение. Нестандартный матричный коммутатор
5. Многомерные обобщения системы Ляпунова-Стеклова
§10. L-A-пары и бигамильтоновость: картановское разложение
1. Задача Бруна
2. Картановское разложение и согласованные семейства скобок
3. L-A-napa системы Бруна
4. Волчок Ковалевской и его обобщения
5. Ностроение интегрируемых систем на римановых симметрически парах
§11. Движение твердого тела по гладкой плоскости
§12. Ограниченные задачи динамики твердого тела и механика Дирака
1. Предельный переход и механика Дирака
2. Движение твердого тела в осесимметричном поле
3. Твердое тело в суперпозиции однородных полей
Глава 3. Гамильтонов формализм в небесной механике
§1. Движение нерелятивистской частицы в пространствах постоянной кривизны
1. Канонический формализм в избыточных переменных
2. Алгебраическое представление
3. Редуцированные уравнения для S3
§2. Задача Кеплера. Алгебра интегралов, регуляризация, переменные действие-угол.
1. Алгебра интегралов задачи Кеплера
2. Регуляризация
3. Бифуркационная диаграмма задачи Кеплера
4. Переменные действие-угол и аналог элементов Делоне
§3. Интегрпруемые проблемы в искривленном пространстве
1. Обобщенная задача двух ньютоновских центров (задача Эйлера)
2. Задача Лагранжа в пространстве Лобачевского
3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя
§4. Кватернионная регуляризация Кустааихеймо-Штифеля в небесной механике
§5. Задача двух тел в искривленном пространстве
1. Уравнения движения и первые интегралы
2. Инвариантные многообразия
3. Ограниченная задача двух тел
4. Ограниченная задача двух тел на S2
5. Частные решения задачи двух тел на S2 и L2
6. Задача двух тел при нулевом суммарном моменте. Столкновительные траектории
§6. Смещение перигелия
§7. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве. Точки либрации
1. Ограниченная задача трех тел
2. Точки либрации на сфере S2
3. Точки либрации на плоскости Лобачевского
4. Лагранжевы точки либрации в случае равных масс
5. Малое отклонение от случая равных масс
6. Области Хилла
7. Частные решения неограниченной задачи п тел
§8. Движение твердого тела с гпростатом в искривленном пространстве. Стационарные движения
1. Свободное движение тела в S3
2. Движение связки двух тел. Уравновешенный гпростат
3. Уравнения Кирхгофа на S3, L3
4. Частные решения. Перманентные вращения
5. Заключительные замечания
Глава 4. Гамильтонова дннамнка внхревых структур
§1. Динамика точечных вихрей на плоскости
1. Динамика в абсолютных переменных
2. Комплексная форма уравнений вихревой динамики
3. Представление в относительных переменных
§2. Динамика точечных вихрей на сфере
1. Абсолютное движение. Канонические уравнения
2. Алгебраическое представление
3. Проблема интегрируемости
§3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
1. Аналогия между системой трех вихрей и системой Вольтерра
2. Три вихря на плоскости
3. Три вихря на сфере
§4. Движение трех вихрей. Пекомпактный случай. Проблема коллапса и рассеяния
1. Движение на плоскости
2. Движения на сфере
3. Условие коллапса вихрей на плоскости и сфере
4. Рассеяние вихрей на плоскости
§5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере
1. Частный случай задачи N вихрей, сведение к задаче (N-1) вихрей
2. Частные решения в задаче 4-х вихрей
3. Стационарные и статические вихревые конфигурации
§6. Классификация и алгебраическая интерпретация системы п вихрей на плоскости
1. Вихревая алгебра и лиевы пучки
2. Редукция по симметриям и сингулярные орбиты
3. Симплектические координаты
4. Канонические координаты приведенной системы четырех вихрей. Сечение Пуанкаре
5. Представление Лакса-Гейзенберга
6. Стационарные конфигурации
§7. Родственные задачи динамики вихрей
1. Движение вихрей Кирхгофа
2. Взаимодействие вихря Кирхгофа с точечным вихрем
3. Движение вихрей внутри круговой области
4. Движение вихрей на цилиндре Глава 5. Многочастнчные системы
§1. Обобщенные цепочки Тоды и уравнения Эйлера-Пуанкаре на разрешимых алгебрах Ли
1. Цепочка Тоды, как гамильтонова система на разрешимой алгебре Ли
2. Интегрпруемые обобщенные цепочки Тоды. Метод Ковалевской
3. Индефинитные цепочки Тоды
4. Уравнения Эйлера-Пуанкаре на трехмерной разрешимой алгебре Ли
§2. L-A-napa и бигамильтоновость цепочек Тоды
1. Пезамкнутая цепочка, отображение рассеяния
2. Отображение рассеяния
3. Периодическая цепочка Тоды. Алгебраическое описание цепочек
4. Согласованные пуассоновы структуры цепочек Тоды
5. Релятивистские цепочки Тоды
§3. Системы Кал о джеро-Мозера
1. Представление на квадратичной алгебре
2. Представление Лакса-Гейзенберга систем Кал о джеро-Мозера
3. Метод проектирования, отображение рассеяния
4. Задача Якоби
§4. Гамильтонова динамика систем Вольтерра
1. Системы Вольтерра и квадратичные скобки
2. Кубичная скобка Пуассона
3. Интегрпруемые цепочки, связанные с простыми алгебрами Ли
4. Бигамильтоновость
5. Метод г-матрицы. Общие замечания
Приложение А. Распознавание гамильтоновости динамических систем
1. Обобщенные уравнения Пуассона
2. Обобщение системы Жуковского-Вольтерра
3. Движение ферромагнетика при наличии эффекта Барнетта-Лондона Приложение В. Пеголономные системы, приводимость и гамильтоновость
1. Теорема Эйлера-Якоби
2. Задача Чаплыгина
Приложение С. Алгебро-геометрические скобки Пуассона и их Приложение
1. Уравнения Абеля. Гиперэллиптические кривые
2. Аналитические скобки Пуассона
3. Переменные действие
Приложение D. Сингулярные орбиты коприсоединенного представления групп SO(n), E(n)
1. Сингулярные орбиты so(n)
2. Сингулярные орбиты е(п)
3. Алгебра е(4) и ее орбиты
Приложение Е. Пеинтегрпруемость системы Дайсона Приложение F. Топологический анализ обобщенной задачи Чаплыгина Приложение G. Устойчивость томсоновских конфигураций на сфере Приложение П. Алгебраизация и приведение задачи трех тел
1. Алгебраизация системы
2. Барицентрическая система координат и пуассоновы подмногообразия
3. Орбиты и симплектические координаты
Литература
А
L-A-пара Алгебра Z-градуированная -Каца-Муди -Ли двойная --разрешимая-Якоби -интегралов -петель -скобок нелинейная Алгебраизация системы Аналогия Стеклова Аннулятор
Б
Баланс вторичный -главный
В
Вектор Лапласа-Рунге-Ленца -Паули-ЛюбанскогоВихревая алгебра Вихрь Кирхгофа -точечный --на сфере Волчок Лагранжа Вырожденный лагранжиан Высшие пуассоновы структуры
Г
Гамильтониан Геодезический поток Гиперэллиптическая кривая Гироскопические силы Гиростат Граф Кокстера Группа Галилея
Д
Действие группы Ли --коирисоединенное --негамильтоново --непуассоновское --присоединенное --пуассоновское Диаграмма Дынкина -бифуркационная Дорожка Кармана
Е
Естественная каноническая структура кокасательного расслоения
З
Задача Кеплера -Кугушева -Лагранжа-Пеймана -Суслова -Штермера -Эйлера-Якоби -двух тел --ограниченная -двух центров -трех вихрей -трех тел
И
Иерархия -гамильтоновых векторных полей Изображающая точка Изоспектральная деформация Инвариант тензорный Инвариантная мера Инвариантное многообразие -соотношение Индефинитная метрика Интеграл Гесса-Аппельрота Исключение узла
К
Казимир Канонические уравнения Квадратичные скобки Квазиимпульсы Квазискорости Кватернионное представление уравнений движения Коллапс вихрей Конус Штауде Конфигурационное пространство Конфигурация статическая -стационарная Концепция Герца Координаты гномонические -канонические Коцикл
Л
Лиев пучок Линейная аппроксимация Лиувиллева мера
М
Малые массы Мастер-симметрия Метод Ковалевской -сдвига аргумента Метрика Киллинга-Картана Механика Биргофа -Дирака -Памбу Миксмастерная модель Монополь Дирака -магнитный Мультивектор
Н
Направляющие косинусы Некоммутативное интегрирование Несомое тело
О
Область Хилла Оператор рекурсии -сплетающий Орбита коирисоединенного представления -сингулярная Отображение Пуанкаре -момента -рассеяния
П
Параметры Родрига-ГамильтонаПеременные Андуайе-Деири -Клебша -действие-угол Перманентные вращения Плоскость Лобачевского Показатели квазиоднородности -Ковалевской Поле симметрии Понижение порядка Потенциал Дайсона Представление Лакса-Гейзенберга --со спектральным параметром --точноеПреобразование Лежандра -алгебраическое Приведение Приводимость системы Принцип Мопертю и Проекция гиомоническая Пространство Лобачевского -Минковского Пуассонова структура --вырожденная --невырожденная Пуассоново многообразие -отображение -подмногообразие
Р
Ранг пуассоновой структуры Рассеяние вихрей Расслоение Хопфа Реализация связей Регуляризация Болина -Кустаанхеймо-Штифеля Редукция Дирака -Раусса -Уинтнера-ван Кампена -по симметриям -пуассоновых структур -системы Решение Швартшильда Риманова симметрическая пара Ряды Лорана-Пюиз о
С
Связи вторичные -голономные -первичные Связка двух тел Силы гироскопические Симплектическая структура Симплектический лист Симплектическое многообразие -слоение Система Вольтерра-Дайсона -Жуковского-Вольтерра -Калоджеро-Мозера -Клебша-Переломова -Леггетта -Лотки-Вольтерра -бигамильтонова --невырожденная -гамильтонова -инвариантных соотношений -квазиоднородная -мультигамильтонова Скобка Схоутена-Дирака -Ли-Пуассона-Пуассона Скрытая симметрия Случай интегрируемости Горячева-Чаплыгина--КлебшаШ --Ковалевской--Лагранжа - -Чаилыгина - - Эйлера-Пуансо Смещение перигелия Согласованная структура Спектр гамильтониана Столкновительные траектории Структура трансверсальная - Ли-Пуассона - согласованная Структурная матрица (тензор) Сферические координаты
Т
Тензор Пьюхауза Теорема Бернулли - Бертрана - Вейса - Гурвица -Дарбу - Ирншоу - Лнувилля - Мультона - Эйлера-Якоби Тождество Якоби Томсоновские конфигурации -решения Точка либрации --коллинеарная --треугольная
У
Углы Эйлера Уравнение Янга-Бакстера Уравнения Богомолова -Бруна-Тиссерана -Гельмгольца -Кирхгофа -Пуанкаре-Ламба-Жуковского -Пуанкаре-Четаева -Хилла -Эйлера-Пуанкаре -Эйлера-Пуассона -вихревой динамики -канонические
Ф
Функция Гамильтона -Казимира -отмеченная -центральная
Ц
Центр завихренности -приложения Цепочка Богоявленского-Тоды --замкнутая --индефинитная --незамкнутая --периодическая --релятивистская Шар Чаплыгина
Э
Элементы Делоне Эллипсоид инерции Эффект Барнета-Лондона -Штарка
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
