|
Методы теоретической физики, т.1. Авторы Ф.М.Морс, Г.Фешбах
| | Оглавление
Предисловиек русскому изданию
Предисловие авторов.
Глава 1. ТИПЫ ПОЛЕЙ.
1.1.Скалярные поля.
Поверхностиуровня. Лапласиан.
1.2.Векторные поля.
Умножение векторов. Аксиальные векторы. Линии тока. Потенциальные поверхности. Поверхностные интегралы. Источник. Криволинейныеинтегралы. Вихревая линия. Особенности полей.
1.3.Криволинейные координаты.
Направляющиекосинусы. Коэффициенты Ламе. Кривизна координатныхлиний. Элемент объема и другие формулы. Вращениеосей. Законы преобразования векторов. Контравариантныс и ковариантные векторы.
1.4.Дифференциальный оператор y.
Градиент. Производная по направлению. Элементарные повороты. Дивергенция. Теорема Гаусса. Решение уравнения Пуассона. Ротор (вихрь). Вихревые линии. Теорема Стокса. Векторный оператор у.
1.5.Аппарат векторного и тензорного исчисления
Ковариантные икоятравариантные векторы. Аксиальные векторы. Символы Кристоффеля. Ковариантная производная. Тензорные обозначения для дивергенции и ротора. Другце дифференциальные операторы. Другие операторы второго порядка. Вектор как сумма градиента и ротора.
1.6. Аффиноры и другие векторные операторы.
Аффиноры. Аффиноры каквекторныеоператоры. Симметрические
и кососимметрические аффиноры. Вращение осей и унитарные аффиноры. Аффинерные поля. Деформация упругих тел. Типы деформаций. Напряжения в упругой среде. Статическая взаимосвязь между напряжением и деформацией в изотропном упругом теле. Аффинорные операторы. Комплексные числа и кватернионы как операторы. Абстрактные векторные пространства. Собственные векторы и собственные значения. Операторы в квантовой механике. Направляющие косинусы и вероятности. Вероятности и неопределенности. Комплексное векторное пространство. Обобщенные аффиноры. Эрмитовы операторы. Примеры унитарных операторов. Преобразование операторов. Операторы квантовой механики. Спиновые операторы. Кватернионы. Операторы вращения.
1.7. Преобразование Лоренца. 4-векторы, спиноры95
Собственное время. Преобразование Лоренца. Четырехмерные инварианты. 4-векторы. Тензор наиряжения-энергии. Спиновое пространство и пространство-время. Спиноры и 4-векторы. Преобразование Лоренца для спиноров. Пространственный поворот спиноров. Спиновые векторы и тензоры.Оператор вращенияв спинорной форме.
Задачи к главе 1
Таблица наиболее употребительных векторных и аффинерных соотношении. Таблица свойств криволинейных координат ...116
Литература .
Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПОЛЕЙ
2.1.Гибкая струна
Силы, действующие на элемент струны. Уравнение Пуассона. Сосредоточенная сила; дельта-функция. Волновое уравнение. Простое гармоническое движение, уравнение Гельмгольца. Волновая энергия. Поток энергии. Мощность и волновой импеданс. Вынужденное движение струны. Переходная характеристика; интеграл Фурье. Операторные уравнения струны. Собственные векторы оператора единичного сдвига. Предельный случай непрерывной струны. Влияние трения. Уравнение диффузии. Уравнение Клейна—Гордона. Вынужденное движение упруго подкрепленной струны. Резюме.
2.2.Волны в упругой среде.
Продольные волны. Поперечные волны. Волновое движение в трехмер ном пространстве. Векторные волны. Интегральные представления. Напряжение и деформация. Волновая энергия и импеданс.
2.3.Движение жидкости.
Уравнение неразрывности. Решения для несжимаемых жидкостей. Примеры. Напряжения в жидкостях. Уравнение Бернулли. Волновое уравнение. Безвихревой поток сжимаемой жидкости. Дозвуковой и сверхзвуковой потоки. Потенциал скоростей; линейное приближение. Линии Маха и ударные волны.
2.4.Диффузия и другие явления просачивания жидкости.
Поток жидкости через пористое твердое тело. Диффузия. Фазовое пространство и функция распределения. Давление и уравнение состояния. Средняя длина свободного пробега и эффективное сечение рассеяния. Диффузия света, интегральное уравнение. Диффузия света, дифференциальное уравнение. Граничные условия. Влияние анизотропного рассеяния. Приближение первого порядка; уравнение диффузии. Единичные решения. Потеря энергии при столкновении. Действие внешней силы. Равномерный перенос, вызванный силовым полем. Уменьшение скорости частиц при столкновениях. Резюме.
2.5.Электромагнитное поле
Электростатическое поле. Магнитостатическоеполе. Зависимостьот времени. Уравнения Максвелла. Запаздывание и релаксация.ПреобразованиеЛоренца. Калибровочное преобразование. Поле движущегося заряда.Сила и энергия.Поверхности проводников и диэлектриков. Передача волн и импеданс. Уравнения Прока.
2.6.Квантовая механика.
Фотоны и электромагнитное поле. Соотношение неопределенности. Сопряженные переменные и скобки Пуассона. Основные постулаты квантовой теории. Независимые квантовые переменные и функции от операторов. Собственные векторы для координат. Функции преобразования. Операторные уравнения для функций преобразования. Преоб-
926
Оглавление
разование к пространству импульсов. Функция Гамильтона и уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор. Зависимость от времени. Время как параметр. Функция Гамильтона, зависящая от времени. Частица в электромагнитном поле. Относительность и спин. Уравнение Дирака. Полный момент количества движения. Волновая функция свободного поля. Резюме.
Задачи к главе 2.
Стандартные формы некоторых уравнений с частными производными теоретической физики. . 260
Литература .
Глава 3. ПОЛЯИ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
3.1.Вариационный интеграл и уравнения Эйлера.
Уравнения Эйлера. Уравнения связи.
3.2.Принцип Гамильтона и классическая динамика.
Уравнения Лагранжа. Энергия и функция Гамильтона. Импеданс. Канонические преобразования. Скобки Пуассона. Интеграл действия.- Двумерный осциллятор. Заряженная частица в электромагнитном поле. Релятивистская частица. Диссипативные системы. Импеданс и полная проводимость для диссипативных систем.
3.3.Скалярные поля.
Гибкая струна. Волновое уравнение. Уравнение Гельмгольца. Потев-циал скоростей. Волны сжатия. Волновой импеданс. Плоская волна. Уравнение диффузии. Уравнение Шредингера. Уравнение Клейна — Гордона.
3.4. Векторные поля.
Общие свойства поля. Изотропные упругие среды. Решения типа плоской волны. Импеданс. Электромагнитноеполе. Тензор напряжения-энергии.Импульс поля. Изменение калибровки потенциалов. Аффинор импеданса.Плоская волна. Уравнение Дирака.
Задачи к главе 3.
Сводка результатов главы 3.
Гибкая струна или мембрана. Сжимаемая невязкая жидкость. Уравнение диффузии. Уравнение Шредингера. Уравнение Клейна — Гордона. Уравнениеупругихколебаний. Уравнения электромагнитногополя. Уравнение Дирака. Литература . 328
Глава 4. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
4.1. Комплексные числа и комплексные переменные
Оператор вращения. Векторы и комплексные числа. Двумерное электростатическое поле. Контурные интегралы.
4.2. Аналитические функции
Конформноеотображение. Интегрирование в комплексной плоскости. Теорема Коши. Некоторые полезные следствияиз теоремыКоши. Интегральнаяформула Коши. Действительная и мнимая части аналитической функции. Импеданс. Формула Пуассона.
4.3. Производные аналитических функций. Ряды Тейлора и Лорана. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Изолированные особыеточки. Классификация функций; теорема Лиувилля. Мероморфные функции. Поведение степенного ряда на' границе кругасходимости.Аналитическоепродолжение. Основные теоремы. Точки ветвления.Приемы аналитического продолжения.
4.4. Многозначные функции
Точки ветвления и линии ветвления.Римановы поверхности. Пример.
4.5. Теория вычетов. Гамма-функция и эллиптические функции 386 Интегралы от функций, имеющих точки ветвления. Обращение рядов. Суммирование рядов. Интегральное представление функций. Интегралы, связанныес функцией ошибок. Гамма-функция. Контурные интегралы
для гамма-функции. Представление гамма-функции в виде бесконечного произведения. Производные гамма-функции. Формула удвоения. Бета-функция. Периодические функции. Основные свойства двоякопери-одических функций. Эллиптические функции второго порядка. Интегральные представления эллиптических функций.
4.6. Асимптотические ряды. Метод перевала
Пример. Усреднение последовательных членов ряда. Интегральные представления и асимптотические ряды. Выбор контура. Первый член разложении. Остаток ряда.
4.7. Конформное отображение
Общиесвойства отображения. ПреобразованиеШварца—Кристоффеля. Примеры. Метод инверсии.
4.8.1 Преобразование Фурье
Связь с рядами Фурье. Некоторые интегральные теоремы. Интегральная теорема Фурье. Свойства преобразования Фурье. Асимптотические значения преобразования. Общая формулировка. Свертка. Формула суммирования Пуассона. Преобразование Лапласа. Преобразование Мелпина.
Задачи к главе 4.
Основные свойства функций комплексного переменного.
Алгорифм Эйлера для вычисления сумм рядов. Представление интегралов посредством асимптотических рядов. Преобразование Фурье. Преобразование Лапласа. Преобразование Меллина.
Часто встречающиеся специальные функции.
Гамма-функция. Эллиптические функции.Тэта-функции.
Глава 5.ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5.1. Координаты, в которых переменные разделяются
Граничные поверхности и системы координат. Двумерные разделяющие координаты. Разделяющие координаты для двумерного уравнения Лапласа. Разделение переменных в волновом уравнении. Прямоугольные и параболические координаты. Полярные и эллиптические координаты. Коэффициенты Ламе и геометрия систем координат. Константы разделения и граничные условия. Разделение для трех измерений. Определитель Штеккеля. Софокусные поверхцости второго порядка. Вырожденные формы эллипсоидальных координат. Слияние особенностей. Константы разделения. Уравнение Лапласа для трех измере-' ний, модуляционный множитель. Софокусные циклиды.
5.2. Общие свойства, решение при помощи рядов
Определитель Вронского. Независимые решения. Интегрирующие множители и сопряженные уравнения. Решение неоднородного уравнения. Решение при помощи рядов вблизи обыкновенных точек. Особые точки, ¦ определяющие уравнение. Классификация уравнений, стандартные формы. Две регулярные особые точки. Одна иррегулярная особая точка. Три регулярные особые точки. Рекурсивные формулы. Гипергеометрическое уравнение. Функции, представимые гипергеометрическими рядами. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда. Функции Геген-бауера. Одна регулярная и однаиррегулярнаяособые точки. Асимн-
928
Оглавление
тотические ряды. Две регулярные, одна иррегулярная особые точки. Непрерывные дроби. Определитель Хилла. Функции Матье. Функции Матье второго рода. Еще о рекурсивных формулах. Функциональные ряды.
5.3.Интегральные представления
Некоторые простые примеры. Общие уравнения для подинтегральной функции. Преобразование Эйлера. Преобразование Эйлера для гипергеометрического ряда. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда. Функции Лежавдра. Функции Лежандра второго рода. Полиномы Гёгенбауера. Вырожденная (конфлюентная) гипергеометрическая функция. Преобразование Лапласа. Асимптотическое разложение. Решения третьего рода. Решение второго рода. Функции Бесселя. Функции Ганкеля. Функции Неймана. Приближенные формулы для больших v. Кулоновская волновая функция. Функции Матье. Преобразование Лапласа и разделенное волновое уравнение. Еще о функциях Матье. Ядра, являющиеся функциями от zt.
Задачи к главе 5.
Таблица разделяющих координат для трех измерений
Прямоугольные координаты. Круговые цилиндрические координаты (вращения). Эллиптические цилиндрические координаты. Параболические цилиндрические координаты. Сферические координаты (вращения). Конические координаты. Параболические координаты (вращения). Вытянутые сфероидальные координаты (вращения). Сплющенные сфероидальные координаты (вращения). Эллипсоидальные координаты. Параболоидальные координаты. Бисферические координаты. Тороидальные координаты.
Дифференциальные уравнения второго порядка и их решения
Одна регулярная особая точка. Одна иррегулярная особая точка. Две регулярные особые точки. Три регулярные особые точки. Одна регулярная и одна иррегулярная особые точки. Две иррегулярные особые точки.
Глава 6. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯИ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
6.1. Типы уравнений и краевых условий.
Типы краевых условий. Задача Коти и характеристические линии. Гиперболические уравнения. Условия Коши и гиперболические уравнения. Волны для нескольких пространственных измерений. Эллиптические уравнения и комплексные переменные. Параболические уравнения.
6.2. Разностные уравнения и краевые условия
Линейные разностныеуравненияпервого порядка. Разностныеуравнения для нескольких измерений. Эллиптическое уравнение и условия Дирихле. Собственные функции. Функции Грина.Эллиптическое уравнение и условия Коши. Гиперболическое разностное уравнение. Параболическое разностное уравнение.
6.3. Собственные функции и их применения.
Ряды Фурье. Функция Грина. Собственные функции. Типы краевых условий. Абстрактное векторное пространство. Задача Штурма—Лиу-вилля. Вырождение. Ряды по собственным функциям. Разложение уравнения Штурма—Лиувилля (факторизация). Собственные функции и вариационный принцип. Полнота системы собственных функций. Асимптотические формулы. Сравнение с рядом Фурье. Явление Гиббса. Производящие функции, поливомы Лежандра. Собственные функции для
Оглавление
нескольких измерений. Разделимость констант разделения. Плотность собственных значений. Непрерывное распределение собственных значений. Собственные значения для уравнения Шредингера. Дискретные и непрерывные собственные значения. Дифференцирование и интегрирование как операторы. Задача о собственных значениях в абстрактном векторном пространстве.
Задачи к главе 6.
Таблица полезных собственных функций и их свойств.
Интервал; функция плотности; полиномы Геген-бауера. Интервал; функция плотности; поли-номы Лагерра. Интервал —бесконечности < z < +бесконечности; функция плотности e ; полиномы Эрмита.
Собственные функции, полученные при помощи метода факторизации.
Глава 7.ФУНКЦИИ ГРИНА
7.1. Точки источников и граничные точки
Формулировка в абстрактном векторном пространстве. Граничные условия и поверхностные заряды. Простой пример. Связь между объемной и поверхностной функциями Грина. Общее решение. Функция Грина и производящие функции.
7.2. Функции Грина для установившихся колебаний.
Теорема Грина. Функция Грина для уравнения Гельмгольца. Решение неоднородного уравнения. Общие свойства функции Грина. Эффект граничныхусловий. Метод изображений. Рядизображений. Другие разложения. Разложение функции Грина по собственнымфункциям. Разложения длябесконечной области. Полярные координаты. Общая техника. Общая формула. Функции Грина и собственные функции.
7.3. Функция Грина для скалярного волновогоуравнения
Соотношение взаимности. Вид функции Грина. Поле подвижного источника. Двумерное решение. Одномерные решения. Начальные условия. Принцип Гюйгенса. Границы в конечной части пространства.Разложение по собственным функциям. Нестационарныемалыеколебания круглой мембраны.Уравнение Клейна—Гордона.
7.4. Функция Грина для уравнения диффузии
Причинность и взаимность. Неоднородные граничные условия. Функция Гринадля бесконечнойобласти. Конечные границы. Решения при помощи собственных функций. Максимальная скорость передачи тепла.
7.5. Функция Грина в абстрактной операторной форме.
Обобщение теоремы Грина, сопряженныеоператоры. Эффекткраевых . условий. Еще о сопряженныхдифференциальных операторах. Сопряженные интегральные операторы. Обобщение на абстрактное векторное пространство. Сопряженные, комплексно сопряженные и эрмитовы операторы. ФункцияГрина и оператор Грина. Соотношениевзаимности. Разложение оператора Грина в эрмитовомслучае. Неэрмитовы операторы; биортогональные функции.
Задачи к главе 7.
Таблица функций Грина.
Общие свойства. Функция Грина для уравнения Гельмгольца. Функция Грина для волнового уравнения.Функция Грина для уравнения диффузии. Литература
Глава 8. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
8.1. Интегральные уравнения физики; их классификация
Пример из акустики. Пример из волновой механики. Краевые условия и интегральные уравнения. Уравнения, определяющие собственные функции. Интегральные уравнения некоторых собственных функций. Типы интегральныхуравнений;уравнения Фредгольма. Уравнения Вольтерра.
8.2. Общие свойства интегральных уравнений.
Ядра интегральных уравнений. Переход к определенным ядрам. Свойства симметричного определенного ядра. Ядра и функции Грина для неоднородных уравнений. Полуопределенные и неопределенные ядра. Ядра, отличные от действительных определенных. Интегральное уравнение Вольтерра. Сингулярные ядра.
8.3. Решение уравнений Фредгольма первого рода.
Решения уравнений Фредгольма в форме рядов. Определениекоэффициентов. Ортогонализация. Биортогональные ряды. Интегральные уравнения первого рода и производящие функции. Применение полиномов Гегенбауера. Интегральные уравнения первого рода и функции Грина. Интегральные преобразования и интегральные уравнения первого рода. Дифференциальные уравнения и интегральные уравнения первого рода. Проблема моментов. Резюме.
ЯЛ. Решение интегральных уравнений второго рода.
Разложения первого класса. Разложения второго класса. Разложения третьего класса. Другие случаи. Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
8.5.Преобразование Фурье и интегральные уравнения.
Преобразование Фурье и ядра вида v(x—х0). Преобразование Ганкеля. Ядро v(x—x0) в бесконечной области. Однородное уравнение. Пример. Точки ветвления. Ядро v(x-{-x0) в неограниченной области. Пример. Применения преобразования Лапласа. Интегральное уравнение Вольтерра с пределами (х, оо). Преобразование Меллина. Метод Винера—Хопфа. Примеры применения метода. Задача Милна. Общий метод разложения на множители. Задача Милна; продолжение. Неоднородное уравнение Винера—Хопфа.
Основные свойства интегральных уравнений и их решений.
Типы уравнений. Типы ядер. Функция Грина для неоднородного урав.-нения. Решение уравнений Фредгольма первого рода. Решение уравнений Вольтерра первого рода. Решение уравнений Фредгольма второго рода. Решение уравнений Вольтерра второго рода.
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
