|
Группы преобразований в математической физике. Автор Н.Х.Ибрагимов
| | Книга отражает современное развитие теоретико-групповых методов
применительно к задачам математической физики. Она включает теорию
инвариантов групп преобразований в римановых пространствах и групповой
анализ уравнений Эйнштейна. Изучаются алгебро-геометрические аспекты
принципа Гюйгенса и законов сохранения. Излагаются основы теории
формальныхгрупппреобразованийЛи—Беклунда,инвариантных
дифференциальных многообразий и проводится групповая классификация
нелинейных дифференциальных уравнений.
Рассчитана на математиков, физиков и механиков, интересующихся вопросами
качественного анализа дифференциальных уравнений.
Содержание
Предисловие
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Вводная Глава . Группы и дифференциальные уравнения
§ 1 Непрерывные группы
1.1. Топологические группы
1.2. Группы Ли
1.3. Локальные группы
1.4. Локальные группы Ли
§2. Алгебры Ли
2.1. Определения
2.2. Алгебры Ли и локальные группы Ли
2.3. Внутренние автоморфизмы
2.4. Теорема Леви — Мальцева
§ 3. Группы преобразований
3.1. Локальные группы преобразований
3.2. Уравнение Ли
3.3. Инварианты
3.4. Инвариантные многообразия
§ 4. Инвариантные дифференциальные уравнения
4.1. Продолжение точечных преобразований
4.2. Определяющее уравнение
4.3. Инвариантные и частично инвариантные решения
4.4. Метод инвариантных мажорант
§ 5. Примеры
Глава 1. Движения в римановых пространствах
§ 6. Общая группа движений
6.1. Локальные римановы многообразия
6.2. Произвольные движения в Vn
6.3. Дефект группы движений в Vn
6.4. Инвариантное семейство пространств
§ 7. Примеры движений
7.1. Изометрии
7.2. Конформные движения
7.3. Движения с ? = 2
7.4. Неконформные движения с ? = 1
7.5. Движения с заданными инвариантами
§ 8. Римановы пространства с нетривиальной конформной группой
8.1. Конформные пространства
8.2. Пространства постоянной кривизны
8.3. Конформно-плоские пространства
8.4. Пространства с определенной метрикой
8.5. Лоренцевы пространства
§ 9. Групповой анализ уравнений Эйнштейна
9.1. Гармонические координаты
9.2. Группа, допускаемая уравнениями Эйнштейна
9.3. Разложение Ли — Вессио
9.4. Точные решения
§ 10. Конформно-инвариантные уравнения второго порядка
10.1. Предварительные рассмотрения
10.2. Линейные уравнения в Sn
10.3. Полулинейные уравнения в Sn
10.4. Уравнения с группой изометрий максимального порядка
10.5. Волновое уравнение в лоренцевых пространствах
Глава 2. Принцип Гюйгенса с групповой точки зрения
§11. Общие рассмотрения и история вопроса
11.1. Проблема Адамара
11.2. Критерий Адамара
11.3. Теорема Матиссона — Асгейрссона
11.4. Необходимые условия Гюнтера и Макленагана
11.5. Преобразование Лагнеза — Штельмахера
11.6. Современное состояние и обобщения проблемы Адамара
§ 12. Волновое уравнение в V4
12.1. Вычисление геодезического расстояния в метрике плоской
волны
12.2. Конформная инвариантность и принцип Гюйгенса
12.3. Решение задачи Коши
12.4. Случай тривиальной конформной группы
§ 13. Принцип Гюйгенса в Sn+1
13.1. Предварительный анализ решения
13.2. Преобразование Фурье функции Бесселя J0(a|m|)
13.3. Метод спуска. Представление решения для произвольных n
13.4. Обсуждение принципа Гюйгенса
13.5. Нарушение связи принципа Гюйгенса с конформной инвариантностью
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Глава 3. Введение в теорию групп Ли-Беклунда
§ 14. Касательные преобразования Ли и теорема Беклунда
14.1. Контактные преобразования
14.2. Касательные преобразования конечного порядка
14.3. Преобразование Бианки — Ли
14.4. Преобразования Беклунда. Примеры
14.5. Понятие касательных преобразований бесконечного порядка
§ 15. Формальные группы
15.1. Уравнение Ли для формальных однопараметрических групп
15.2. Инварианты и инвариантные многообразия
§ 16. Однопараметрические группы преобразований Ли — Беклунда
16.1. Определение и инфинитезимальный критерий
16.2. Операторы Ли — Беклунда. Канонический оператор
16.3. Примеры
§ 17. Инвариантные дифференциальные многообразия
17.1. Критерий инвариантности
17.2. Примеры решения определяющего уравнения
17.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения
17.4. Теорема об изоморфизме
17.5. Линеаризация преобразованиями Ли — Беклунда
Глава 4. Уравнения с бесконечной группой Ли — Беклунда
§ 18. Характерные примеры
18.1. Уравнение теплопроводности
18.2. Уравнение Кортевега— де Фриза
18.3. Уравнение пятого порядка
18.4. Волновое уравнение
§ 19. Эволюционные уравнения
19.1. Алгебра Af
19.2. Формула Фаа де Бруно
19.3. Алгебра Lf
19.4. Преобразования эквивалентности
§ 20. Анализ эволюционных уравнений второго и третьего порядка
20.1. m=2
20.2. m=3
20.3. Две системы нелинейных уравнений
§ 21. Уравнение F(x,y,z,p,q,r,s,t) = О
21.1. Анализ общего случая
21.2. Классификация уравнений s=F(z)
21.3. Система двух нелинейных уравнений
Глава 5. Законы сохранения
§ 22. Основные теоремы
22.1. Тождество Нётер
22.2. Теорема Нётер
22.3. Инвариантность на экстремалях
22.4. Действие присоединенной алгебры
22.5. Интегралы эволюционных уравнений
§ 23. Примеры
23.1. Движение в пространстве де Ситтера
23.2. Уравнение utt+?2*u=0
23.3. Нестационарное околозвуковое течение газа
23.4. Короткие волны
§ 24. Группа Лоренца
24.1. Законы сохранения в релятивистской механике
24.2. Нелинейное волновое уравнение
24.3. Уравнение Дирака
§ 25. Группа Галилея
25.1. Свободное движение частицы
25.2. Идеальный газ
25.3. Несжимаемая жидкость
25.4. Течение мелкой воды
25.5. Базис законов сохранения для уравнения КдФ
Добавление
Литература
Предметный указатель
А
Автоморфные уравнения —Галилея Алгебра Ли —движений изометрических ——группы Ли——конформных ———преобразований ———нетривиальная —Ли-Беклунда эволюционного ———тривиальная уравнения ——общая Ассоциативная алгебра формальных —допускаемая дифференциальным операторов уравнением
Б
Базис законов сохранения —контактных преобразований —инвариантов
В
Вектор Рунге —Ленца—Ли Волновое уравнение —Лоренца
Г
Гармонические координаты —Паули Геодезическое расстояние —преобразований ——в метрике плоской волны ——Ли —Беклунда Группа внутренних автоморфизмов —Фока
Д
Движение в римановом пространстве —изометрическое Дефект группы движений —многообразия —частично инвариантного решения Дифференциальные инварианты —многообразия ——Параметры Бельтрами —переменные —функции
З
Закон сохранения
И
Инвариант группы преобразований —Коттона —Лапласа —универсальный Инвариантная мажорантна Инвариантное многообразие Инвариантное многообразие дифференциальное —решение ——неособое ——особое —семейство пространств Интеграл Бернулли —Лагранжа —Коши —эволюционного уравнения
К
Касательная структура Касательное векторное поле однопараметрической группы ———формальной группы —преобразование ——бесконечного порядка ——конечного порядка ——Ли —пространство Ковариантное дифференцирование Контактное преобразование Конформно-инвариантное уравнение Конформные пространства Критерий Адамара —инвариантности многообразия ———дифференциального —Картана
Л
Локальная группа ——Ли Лоренцево пространство
М
Мажорантная задача Матрицы Дирака Метод спуска Метрика плоской волны —Шварцшильда Метрический тензор
Н
Необходимые условия Гюнтера ——Макленагана ——нетривиальности алгебры Ли —Беклунда
О
Оператор Ли —Беклунда ——канонический —Нётер —рекурренции —Эйлера—Лагранжа Определяющее уравнение Оптимальная система подгрупп Орбита
П
Полярные координаты Представление Лакса Преобразование Беклунда —Бианки—Ли —Галилея —Лагнеза—Штельмахера —Лапласа —Лежандра —Ли —Беклунда —Миуры —Фурье ——функции Бесселя —Хопфа —Коула Принцип Гюйгенса Присоединенная алгебра —группа Проблема Адамара —Беклунда Продолжение точечных преобразований Производная Ли Пространство де Ситтера —конформно-плоское —Минковского —плоское —постоянной кривизны —риманово ——гиперболического типа —с нетривиальной конформной группой
Р
Радикал Разложение Леви —Ли—Вессио Разрешающая система Ранг многообразия —частично инвариантного решения
С
Сепаранта Символы Кристоффеля Слабый лагранжиан
Т
Тензор —Баха —Вейля —Римана—Кристоффеля —Риччи Теорема Беклунда —Леви—Мальцева —Ли —Матиссона—Асгейрссона —Нётер —об изоморфизме —Тресса Тождество Бельтрами —Нётер —Якоби
У
Уравнение Бонне —Бюргерса —Дирака —Киллинга ——обобщенное —Кортевега—де Фриза ——модифицированное —Ли —Беклунда —Лиувилля —минимальных поверхностей —Монжа —Ампера —околозвукового течения газа —поперечного колебания пластинок —теплопроводности —Шредингера для атома водорода ——нелинейное —эволюционное с нетривиальной алгеброй —Эйлера —Лагранжа —Эйлера —Пуассона —Дарбу Уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости ——мелкой воды ——политропического газа —коротких волн —резонансного взаимодействия волн —Эйнштейна
Ф
Формальная однопараметрическая группа Формула продолжения —Пуассона —Те доне —Фаз де Бруно Характеристический коноид —конус
Ч
Частично инвариантное решение
Э
Эквивалентные операторы Ли—Беклунда —уравнения второго порядка —эволюционные уравнения Элементарное действие
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
