|
Теория матриц. Автор Ф.Р.Гантмахер
| | Содержание
Предисловие редактора ко второму издания
ЧАСТЫ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава I. Матрицы и действия над ними
§ 1. Матрицы. Основные обозначения
§ 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц
§ 3. Квадратные матрицы
§ 4. Ассоциированные матрицы. Мниоры обратной матрицы
§ 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица
Глава II. Алгоритм Гаусса и некоторые его применения
§ 1. Метод исключения Гаусса
§ 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса
§ 3. Детерминантное тождество Сильвестра
§ 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители
§ 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными
матрицами. Обобщенный алгоритм Гаусса
Глава III. Лииейиые операторы в я-мериом векторном пространстве
§ 1. Векторное пространство
§ 2. Лниейный оператор, отображающий и-мерное пространство в т-мерное
§ 3. Сложение и умножение линейных операторов
§ 4. Преобразование коордниат
§ 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра
§ 6. Лниейные операторы, отображающие и-мерное пространство само в себя
§ 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора
§ 8. Лниейные операторы простой структуры
Глава IV. Характеристический и минимальный многочлены матрицы
§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов
§ 2. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу
§ 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица
§ 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов
характеристического многочлена и присоединенной матрицы
§ 5. Минимальный многочлен матрицы
Глава V. Функции от матрицы
§ 1. Определение функции от матрицы
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа—Сильвестра
§ 3. Другие формы определения у(А). Компоненты матрицы А
§ 4. Представление функций от матриц рядами
§ 5. Некоторые свойства функций от матриц
§ 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэ ффициеитами
§ 7. Устойчивость движения в случае линейной системы
Глава VI. Эквивалентные преобразования многочленных матриц.
Аналитическая теория элементарных делителей
§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы
§ 2. Канонический вид ^-матрицы
§ 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной
матрицы
§ 4. Эквивалентность линейных двучленов
§ 5. Критерий подобия матриц
§ 6. Нормальные формы матрицы
§ 7. Элементарные делители матрицы у(А)
§ 8. Общий метод построения преобразующей матрицы
§ 9. Второй метод построения преобразующей матрицы
Глава VII. Структура линейного оператора в п-мерном пространстве
(геометрическая теория элементарных делителей)
§ 1. Минимальный многочлен вектора пространства (относительно заданного линейного оператора)
§ 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами
§ 3. Сравнение. Надпространство
§ 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные подпространства
§ 5. Нормальная форма матрицы
§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители
§ 7. Нормальная жорданова форма матрицы
§ 8. Метод акад. А. Н. Крылова преобразования векового уравнения
Глава VIII. Матричные уравнения
§ 1. Уравнение АХ=ХВ
§ 2. Частный случай:А = В. Перестановочные матрицы
§ 3. Уравнение АХ—ХВ = С
§ 4. Скалярное уравнение У.Х)=0
§ 5. Матричное многочленное уравнение
§ 6. Извлечение корня т-н степени из неособенной матрицы
§ 7. Извлечение корня т-н степени из особенной матрицы
§ 8. Логарифм матрицы
Глава IX. Линейные операторы в унитарном пространстве
§ 1. Общие соображения
§ 2. Метризация пространства
§ 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов
§ 4. Ортогональное проектирование
§ 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства
§ 6. Ортогонализация ряда векторов
§ 7. Ортонормированный базис
§ 8. Сопряженный оператор
§ 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве
§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов
§ 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы
операторы
§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном
пространстве. Формулы Кэли
§ 13. Лниейные операторы в евклидовом пространстве
§ 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом
пространстве
§ 15. Коммутирующие нормальные операторы
§ 16. Псевдообратный оператор
Глава X. Квадратичные и эрмитовы формы
§ 1. Преобразование переменных в квадратичной форме
§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Закон ниерции
§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов.
Формула Якоби
§ 4. Положительные квадратичные формы
§ 5. Приведение квадратичной формы к главным осям
§ 6. Пучок квадратичных форм
§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка
форм
§ 8. Малые колебания системы с п степенями свободы
§ 9. Эрмитовы формы
§ 10. Ганкелевы формы
ЧАСТЬ II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫИ ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава XI. Комплексные симметрические, кососимметрические и
ортогональные матрицы
§ 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных
матриц
§ 2. Полярное разложение комплексной матрицы
§ 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы
§ 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы
§ 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы
Глава XII. Сингулярные пучки матриц
§ 1. Введение
§ 2. Регулярный пучок матриц
§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении
§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц
§ 5. Минимальные индексы пучка. Критерий строгой эквивалентности пучков
§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм
§ 7. Приложения к дифференциальным уравнениям
Глава XIII. Матрицы с неотрицательными элементами
§ 1. Общие свойства
§ 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц
§ 3. Разложимые матрицы
§ 4. Нормальная форма разложимой матрицы
§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы
§ 6. Стохастические матрицы
§ 7. Предельные вероятности для однородной цепи Маркова с конечным числом состояний
§ 8. Вполне неотрицательные матрицы
§ 9. Осцилляционные матрицы
Глава XIV. Различные критерии регулярности и локализации собственных значений
§ 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения
§ 2. Норма матрицы
§ 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы
§ 4. Критерий регулярности Фидлера
§ 5. Круги Гершгорниа и другие области локализации
Глава XV. Приложения теории матриц к исследованию систем
линейных дифференциальных уравнений
§ 1. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами. Общие понятия
§ 2. Преобразование Ляпунова
§ 3. Приводимые системы
§ 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина
§ 5. Матрицант
§ 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление Вольтерра
§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства
§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области
§ 9. Изолированная особая точка
§ 10. Регулярная особая точка
§ 11. Приводимые аналитические системы
§ 12. Аналитические функции от многих матриц и их применение к исследованию дифференциальных систем. Работы И. А. Лаппо-Данилевского
Глава XVI. Проблема Рауса — Гурвица и смежные вопросы
§ 1. Введение
§ 2. Индексы Коши
§ 3. Алгоритмы Рауса
§ 4. Особые случаи. Примеры
§ 5. Теорема Ляпунова
§ 6. Теорема Рауса— Гурвица
§ 7. Формула Орландо
§ 8. Особые случаи в теореме Рауса — Гурвица
§ 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных
вещественных корней многочлена
§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга
§11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через
коэффициенты числителя и знаменателя
§ 12. Второе доказательство теоремы Рауса — Гурвица
§ 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса — Гурвица. Критерий
устойчивости Льенара и Шипара
§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стиль тьеса.
Представление многочленов Гурвица при помощи непрерывных
дробей
§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова
§ 16. Связь с проблемой моментов
§ 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркове
§ 18. Теоремы Маркова и Чебышева
§ 19. Обобщенная задача Рауса — Гурвица
Добавление. Неравенства для собственных и сингулярных чисел
(В.Б.Лидский)
Литература
Предметный указатель
А
Алгоритм Гаусса ——обобщенный —— механическая интерпретация —Рауса
Б
Базис векторного пространства —ортонормнрованный
В
Вектор —главный пучка квадратичных форм ———эрмитовых форм —собственный линейного оператора ——матрицы —аннулирующий многочлен —координаты —минимальный многочлен —норма —относительный аннулирующий многочлен ——минимальный многочлен Векторы линейно зависимые и линейно независимые см. Зависимость линейных векторов Вероятность абсолютная ——предельная ———средняя —переходная ——предельная ———средняя Вычитание матриц
Д
Делитель элементарный квадратной матрицы Дефект линейного оператора —матрицы Дискриминант квадратичной формы —эрмитовой формы Дополнение ортогональное
Ж
Жорданова форма см. Форма нормальная квадратной матрицы жорданова (верхняя)
З
Зависимость линейная векторов ——— критерий Грама Задача Рауса —Гурвица обобщенная Закон инерции квадратичных форм ——эрмитовых форм
И
Индекс импримитивности —Коши Интеграл мультипликативный ——в комплексной области —от матрицы
К
Компонента линейного оператора кососимметрическая ———симметрическая Конгруэнтность пучков симметрических матриц —симметрических матриц Координаты вектора Корень из матрицы Критерий Адамара ——для блочных матриц —Грама линейной зависимости векторов —Льенара и Шипара —Ляпунова —подобия матриц —Рауса —Рауса —Гурвица —Фидлера —эквивалентности -матриц ——строгой регулярных пучков матриц ———сингулярных пучков матриц.
Л
Линейный оператор см. Оператор линейный Логарифм матрицы матрица — инвариантные многочлены — ранг — элементарные делители — —операции (левые и правые)
М
Матрица —ассоциированная р-я —бесконечная вполне положительная ——ганкелева —блочная —Вандермонда обобщенная —вполне неотрицательная ——положительная —ганкелева —главная пучка квадратичных форм —Гурвица —двояко стохастическая —диагональная —единичная —жорданова (верхняя и нижняя) —идемпотентная —импримитивная —инволютивная —интегральная —квадратная —— аннулирующий многочлен —— дефект —— естественная нормальная форма (первая и вторая) —— жорданова нормальная форма (верхняя и нижняя) —— инвариантные многочлены —— компоненты —— минимальный многочлен —— перестановка рядов —— порядок —— разложение на треугольные множители —— след —— функция от нее —— характеристический многочлен —— элементарные делители —квазидиагональная —квазитроугольная (верхняя и нижняя) —комплексная кососимметрическая ——— нормальная форма ——неособенная полярное разложение ——ортогональная ——— нормальная форма ——симметрическая ——— нормальная форма —кососимметрическая —Ляпунова —многочленная см. матрица ——квадратная —неособенная —неотрицательная —еразложимая —— индекс импримитивности —нильпотентная —нормальная —обратная —ограниченная —ортогональная —особенная —оспилляционная Матрица положительная —преобразующая —примитивная —присоединенная ——приведенная —проекционная —простой структуры —прямоугольная —псевдообратная —разложимая —— нормальная форма —Рауса —симметрическая —сопряженная —столбцовая —стохастическая —строчная —транспонированная —треугольная (верхняя и нижняя) —унитарная —фундаментальная —характеристическая —эрмитова —якобиева —интеграл —корень из нее —логарифм —минор —многочлен от нее —производная —ранг —степень —функция от нее см. Функция от матрицы Матрицант Матрицы перестановочные (коммутирующие) —подобные — вычитание — сложение — умножение ——на число Метод Гревилля нахождения псевдообратной матрицы —Крылова —Лагранжа приведения к сумме квадратов квадратичной формы ——————эрмитовой формы —построения преобразующей матрицы —Фаддеева —Якоби приведения к сумме квадратов -квадратичной формы —эрмитовой формы Метрика —евклидова —эрмитова ——неотрицательная ——положительно определенная Минор —главный —почти главный Многочлен аннулирующий вектора ——матрицы ——пространства Многочленинвариантный квадратной матрицы ——Х-матрицы —интерполяционный Лагранжа Сильвестра —матричный ——регулярный —— левое и правое деление —минимальный вектора ———относительный ——матрицы ——пространства —от матрицы —характеристический Модуль линейного оператора левый ———правый
Н
Неравенства Вейля —Неймана —Хорна —Сильвестра Неравенство Адамара ——обобщенное —Бесселя —Буняковского —детерминантное для вполне неотрицательных матриц Норма вектора —линейного оператора —матрицы
О
Оператор линейный ——вК ——вещественный ——инволютивный ——кососимметрический ——неособенный ——нормальный в евклидовом пространстве ———в унитарном пространстве ——ортогональный ———второго рода ———первого рода ——проекционный ——простой структуры ——псевдообратный ——симметрический ———неотрицательный ———положительно определенный ——сопряженный ——транспонированный ——унитарный ——врмитов ———неотрицательный ———положительно определенный —— дефект —— инвариантное подпространство —— кососимметрическая и симметрическая компоненты —— левый и правый модули —— полярное разложение в евклидовом пространстве —— полярное разложение в унитарном пространстве Оператор линейный ранг —— собственные векторы —— характеристические (собственные) числа Операторы линейные сложение —— умножение —— умножение на число Операция элементарная ——девая ——правая Определитель- Грама —— геометрический смысл —Гурвица —Маркова Ортогонализация ряда векторов
П
Параметры Маркова Перестановка рядов в квадратной матрице Подпространство —инвариантное —координатное —циклическое Порядок матрицы Предел последовательности матриц Преобразование координат ——ортогональное ——унитарное —линейное —Ляпунова Приведение квадратичной формы к главным осям ———к сумме квадратов —эрмитовой формы к главным осям Проблема Рауса —Гурвица Проектирование ортогональное Проекционная матрица Проекционный оператор Производная мультипликативная —от матрицы Пространство —бесконечномерное —векторное см. Пространство —евклидово —конечномерное —унитарное —— ортонормированный базис — аннулирующий многочлен — базис — метрика см. Метрика — минимальный многочлен Псевдообратная матрица Пучок квадратичных форм ———регулярный ——— главная матрица ——— главный вектор ——— характеристические числа ——— характеристическое уравнение —матриц ——регулярный ——— каноническая форма ——сингулярный ——— каноническая форма Пучок матриц сингулярный ранг —эрмитовых форм ———регулярный ——— главный вектор ——— характеристические числа ——— характеристическое уравнение
Р
Равенство Парсеваля Разложение квадратной матрицы на треугольные множители —полярное комплексной матрицы ——линейного оператора в евклидовом пространстве ————в унитарном пространстве Ранг квадратичной формы —линейного оператора —матрицы ——многочленной —сингулярного пучка матриц —эрмитовой формы Ряд векторов ортогональный ——полный —— ортогонализация
С
Сигнатура квадратичной формы —эрмитовой формы Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами ———приводимая ———аналитическая ———интегральная матрица ———преобразование Ляпунова ————с постоянными коэффициентами Системы векторов биортонормированные Скелетное разложение матрицы След матрицы .Сложение линейных операторов —матриц Собственное число см. Число собственное Степень матрицы Схема Рауса Сходимость в среднем
Т
Теорема Безу обобщенная —Гамильтона —Кэли —Гершгорина —Е рутина —Кронекера об ассоциированных матрицах —Ляпунова —Маркова —Неймана —Хорна —Ольги Тауски —о расщеплении вторая ———первая Теорема о расщеплении третья —Перрона —Рауса —Рауса —Гурвипа —Стильтьеса —Фробениуса о ганкелевых формах. ——о неотрицательных матрицах —Чебышева —Маркова —Штурма —Шура Тождество Сильвестра детерминантное
У
Умножение линейных операторов —матриц —на число линейного оператора ———матрицы Уравнение матричное многочленное —характеристическое (вековое) матрицы ——пучка квадратичных форм ———эрмитовых форм
Ф
Форма билинейная —квадратичная ——вещественная ——ганкелева ——неотрицательная ——неположительная ——отрицательно определенная ——положительно определенная ——сингулярная ——дискриминант ——закон инерции ——приведение к главным осям ——приведение к сумме квадратов ——ранг ——сигнатура ——формула Якоби —нормальная квадратной матрицы естественная первая —————вторая ————жорданова верхняя —————нижняя ——комплексной кососимметрической матрицы ———ортогональной матрицы ———симметрической матрицы ——разложимой матрицы —эрмитова ——билинейная ——неотрицательная ——неположительная ——отрицательно определенная ——положительно определенная ——сингулярная —— дискриминант —— закон инерции —— приведение к главным осям —— формула Якоби Формула Вине —Коши —Орландо —Формула основная для функции от матрицы —Чебышева —Маркова —Якоби для квадратичной формы ——для эрмитовой формы Формулы Кэли ——в евклидовом пространстве Функция от матрицы ——— основная формула —от многих матриц аналитическая
Х
Характеристическое число см. Число характеристическое
Ц
Цепочка векторов жорданова ———нижняя Цепь Маркова однородная ———ациклическая ———неразложимая ———правильная ———разложимая ———регулярная Цепь Маркова однородная циклическая
Ч
Число характеристическое (собственное) линейного оператора ——пучка квадратичных форм ————— экстремальные свойства ———эрмитовых форм ————— экстремальные свойства
Э
Эквивалентность линейных двучленов -матриц ——левая ——правая —— критерий —рядов векторов —строгая пучков матриц ————регулярных критерий ————сингулярных критерий Элементарный делитель см. Делитель элементарный
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
