|
Э.Т.Уиттекер, Дж.Н.Ватсон. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции.
| | Содержание
Глава 12. Гамма-функция.
12.1. Определение гамма-функции. Произведение Вейерштрасса.
12.11. Формула Эйлера для гамма-функции.
12.12. Уравнение в конечных разностях для гамма-функции.
12.13. Вычисление некоторых бесконечных произведений.
12.14. Связь между гамма-функцией и тригонометрическими функциями.
12.15. Теорема умножения Гаусса и Лежандра.
12.16. Разложения для логарифмических производных гамма-функции.
12.2. Интегральное представление Эйлера дляГ (г).
12.21. Распространение интегрального представления гамма-функции на случай отрицательного аргумента.
12.22. Представление Ханкеля функцииГ (г) в виде контурного интеграла.
12.3. Интегральное представление Гаусса для логарифмической производной от гамма-функции.
12.31. Первое интегральное представление Бине для lgT(z).
12.32. Второе интегральное представление Бине для lgГ (г).
12.33. Асимптотическое разложение логарифма гамма-функции (ряд Стирлинга).
12.4. Интеграл Эйлера первого рода.
12.41. Выражение интеграла Эйлера первого рода через гамма-функцию.
12.42. Выражение интегралов от тригонометрических функций через гамма-функции.
12.43. Обобщение интеграла Эйлера первого рода (Похгаммер).
12.5. Интеграл Дирихле.
Литература .
Примеры.
Глава 13. Дзета-функция Римана.
13.1. Определение дзета-функции.
13.11. Обобщенная дзета-функция.
13.12. Представление функции i(s, а) в виде несобственного интеграла.
13.13. Представление функции ?(s, а) в виде интеграла по контуру
13.14. Значение функцииС (s, а) для частных значений s.'.
13.15. Формула Гурвица для функции ? (s, а), когда я < 0.
13.151. Соотношение Римана между ?(s) и С(1— s).
13.2. Формула Эрмита дляС (s, a).
Ь
Содержание
13.21. Следствия из формулы Эрмита.
13.3. Бесконечное произведение Эйлера дляС (s).
13.31. Гипотеза Римана относительно нулей функции C(s).
13.4. Интеграл Римана для C(s).
13.5. Неравенства, которым удовлетворяет функция ?(s, а) при а>0.
13.51. Неравенства, которым удовлетворяет функцияС (s, а) при а<0.
13.6. Асимптотическое разложение функции.
Литература .
Примеры.
Глава 14. Гипергеометрическая функция.
14.1. Гипергеометрический ряд.
14.11. Значение функции F {а, Ь; с; 1) при Re (с — а — Ь) > 0.
14.2. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция F (а, Ь; с; г).
14.3. Решения Я-уравнения Римана при помощи гипергеометрических функций.
14.4. Соотношения между частными решениями гипергеометрического уравнения.
14.5. Контурные интегралы Барнсадля гипергеометрической функции.
14.51. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда.
14.52. Лемма Барнса.
14.53. Связь между гипергеометрическими функциями от г и от 1—2.
14.6. Решение уравнения Римана при помощи интеграла по контуру.
14.61. Нахождение интеграла, представляющего Р.
14.7. Соотношения между смежными гипергеометрическими функциями.
Литература .
Примеры.
Глава 15. Функции Лежандра.
15.1. Определение полиномов Лежандра.
15.11. Формула Родрига для полиномов Лежандра.
15.12. Интеграл Шлефли для.
15.13. Дифференциальное уравнение Лежандра.
15.14. Интегральные свойства полиномов Лежандра.
15.2. Функции Лежандра.
15.21. Рекуррентные формулы.
15.211. Разложение любого полинома по полиномам Лежандра.
15.22. Представление Мерфи функции Рп (г) в виде гипергеометрической функции.
15.23. Интегралы Лапласа для.
15.231. Интеграл Мелера—Дирихле для Рп{г).
15.3. Функции Лежандра второго рода.
15.31. Разложение функции Qn (г) в степенной ряд.
15.32. Рекуррентные формулы для Qn (z).
15.33. Интеграл Лапласа для функций Лежандра второго рода.
15.34. Формула Неймана для Qn(z), когда п—целое число.
15.4. Разложение Гейне для функции (t — z) в ряд по полиномам Лежандра.
15.41. Разложение Неймана для произвольной функции в ряд по полиномам Лежандра.
15.5. Присоединенные лежандровы функции Рmn (z) и Qmn (z) Феррерса.
15.51. Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра
15.6. Определение Гобсона присоединенных функций Лежандра. 15.61. Выражение функции Р'? (z) через интеграл типа Лапласа.
15.7. Теорема сложения для полиномов Лежандра.
15.71. Теорема сложения для функций Лежандра.
15.8. Функция Сп (г).
Литература .
Примеры.
Глава 16. Вырожденная гипергеометрическая функция.
16.1. Слияние двух особых точек уравнения Римана.
16.11. Формулы Куммера.
16.12. Определение функции Wki т(г).
16.2. Выражение различных функций через функции типа Wk, m (г)
16.3. Асимптотическое разложение функции W, т (г) ПРИ I z I большом.
16.31. Второе решение дифференциального уравнения для функции
16.4. Контурные интегралы типа Меллина — Барнса (Mellin — Barnes) для Wk< m (г).
16.41. Соотношения между Wk m (г) и Mk ±m (г).
16.5. Функции параболического цилиндра. Уравнение Вебера.
16.51. Второе решение уравнения Вебера.
16.511. Соотношение между функциями Dn(z), ?(±iz).
16.52. Общее асимптотическое разложение для функции Dn (.г).
16.6. Контурный интеграл для функции Dn(z).
16.61. Рекуррентные формулы для функции Dn(z).
16.7. Свойства функции Dn(z), когда п — целое число.
Литература .
Примеры.
Глава 17. Функции Бесселя.
17.1. Коэффициенты Бесселя.
17.11. Дифференциальное уравнение Бесселя.
17.2. Решение уравнения Бесселя при любом комплексном п.
17.21. Рекуррентные формулы для функций Бесселя.
17.211. Соотношение между двумя функциями Бесселя, порядки которых отличаются на целое число.
17.212. Связь между функциями Jn (z) и Wk: m.
17.22. Нули функций Бесселя, порядок которых п вещественный
17.23. Интеграл Бесселя для коэффициентов Бесселя.
17.231."Видоизменение интеграла Бесселя, когда п не целое число.
17.24. Функции Бесселя, порядок которых равен половине нечетного целого числа.
17.3. Контурный интеграл Ханкеля для функции Jn (z).
17.4. Связь между коэффициентами Бесселя и функциями Лежандра.
17.5. Асимптотический ряд для функции Jn (z), когда | z \ велик.
17.6. Второе решение уравнения Бесселя, когда порядок — целое число.
8
Содержание
17.61. Ряд для функции (r) при малых r.
17.7. Функции Бесселя с чисто мнимым аргументом.
17.71. Модифицированные функции Бесселя второго рода.
17.8. Разложение Неймана аналитической функции в ряд по коэффициентам Бесселя.
17.81. Доказательство разложения Неймана.
17.82. Разложение Шлёмильха произвольной функции по функциям Бесселя нулевого порядка.
17.9. Составление таблиц функций Бесселя.
Литература .
Примеры.
Глава 18. Уравнения математической физики.
18.1. Дифференциальные уравнения математической физики.
18.2. Граничные условия.
18.3. Общее решение уравнения Лапласа.
18.31. Решение уравнения Лапласа с помощью функций Лежандра
18.4. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее определенным граничным условиям на поверхности сферы.
18.5. Решение уравнения Лапласа в бесселевых функциях целого порядка.
18.51. Периоды колебания однородной мембраны.
18.6. Общее решение волнового уравнения.
18.61. Решение волнового уравнения в функциях Бесселя.
18.611. Приложение результатов
§ 18.61 к одной физической
задаче.
Литература .
Примеры.
Глава 19. Функции Матье.
19.1. Дифференциальное уравнение Матье.
19.11. Форма решения уравнения Матье.
19.12. Уравнение Хилла.
19.2. Периодические решения уравнения Матье.
19.21. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют четные функции Матье.
19.22. Доказательство того, что четные функции Матье удовлетворяют интегральному уравнению.
19.3. Построение функций Матье.
19.31. Интегральные формулы для функций Матье.
19.4. Характер решения общего уравнения Матье; теория Флоке
19.41. Метод решения Хилла.
19.42. Вычисление определителя Хилла.
19.5. Теория Линдемана — Стилтьеса, относящаяся к общему уравнению Матье.
19.51. Форма Линдемана теоремы Флоке.
19.52. Определение целой функции, связанной с общим уравнением Матье.
19.53. Решение уравнения Матье с помощью функции F (?).
19.6. Второй метод построения функции Матье.
19.61. Сходимость рядов, определяющих функции Матье.
19.7. Метод замены параметра.
19.8. Асимптотическое решение уравнения Матье.
Литература .
Примеры.
Глава 20. Эллиптические функции. Общие теоремы и функции
Вейерштрасса.
20.1. Двоякопериодические функции.
20.11. Параллелограммы периодов.
20.12. Простые свойства эллиптических функций.
20.13. Порядок эллиптической функции.
20.14. Соотношение между нулями и полюсами эллиптической функции.
20.2. Построение эллиптической функции. Определение функции g> (г).
20.21. Периодичность и другие свойства функции f(z).
20.22. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция f(z).
20.221. Интегральная формула для f(z).
20.222. Иллюстрация из теории тригонометрических функций.
20.3. Теорема сложения для функции f(z).
20.31. Другая форма теоремы сложения.
20.311. Формула удвоения для f (z).
20.312. Метод Абеля доказательства теоремы сложения для f (z).
20.32. Постоянные elt ег, еъ.
20.33. Прибавление полупериода к аргументу функции f (z).
20.4. Квазипериодические функции. ФункцияС (г).
20.41. Квазипериодичность функцииС (г).
20.411. Соотношение между n1, и n2.
20.42. Функция b (z).
20.421. Квазипериодичность функции b(z).
20.5. Формулы, выражающие любую эллиптическую функцию через функции Вейерштрасса с теми же периодами.
20.51. Выражение любой эллиптической функции через функции f (z) и f' (г).
20.52. Выражение любой эллиптической функции через линейную комбинацию от дзета-функции и ее производных.
20.53. Выражение любой эллиптической функции в виде отношения сигма-функций.
20.54. Связь между любыми двумя эллиптическими функциями
с одинаковыми периодами.
20.6. Об интегрировании функции
20.7. Униформизация кривых рода единица.
Литература .
Примеры.
Глава 21. Тэта-функции.
21.1. Определение тэта-функции.
21.11. Четыре типа тэта-функций.
21.12. Нули тэта-функций.
21.2. Соотношения между квадратами тэта-функций.
21.21. Формулы сложения для тэта-функций.
21.22. Основные формулы Якоби.
21.3. Выражения Якоби для тэта-функций через бесконечные произведения.
21.4. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют тэта-функции.
21.41. Соотношение между тэта-функциями нулевого аргумента.
21.42. Значение постоянной О.
21.43. Связь сигма-функции с тэта-функциями.
21.5. Выражение эллиптических функций при помощи тэта-функций.
21.51. Мнимое преобразование Якоби.
21.52. Преобразование типа Ландена.
21.6. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют отношения тэта-функций.
21.61. Генезис эллиптической функции Якоби sn и.
21.62. Более раннее обозначение Якоби. Тэта-функция в (и.) и эта-функцияН (и).
21.7. Задача обращения.
21.71. Задача обращения для комплексных значений с. Модулярные функции (т), g-(x), h(z).
21.711. Главное решение уравнения (х) —с = 0.
21.712. Значения модулярной функции (х) на рассмотренном выше контуре.
21.72. Периоды, рассматриваемые как функции модулей.
21.73. Задача обращения, связанная с эллиптическими функциями Вейерштрасса.
21.8. Вычисление эллиптических функций.
21.9. Обозначения, применяемые для тэта-функций.
Литература .
Примеры.
Глава 22. Эллиптические функции Якоби.
22.1. Эллиптические функции с двумя простыми полюсами.
22.11. Эллиптические функции Якоби sn и, сп и, dn и,.
22.12. Простые свойства функций sn ы, спи, dn и.
22.121. Дополнительный модуль.
22.122. Обозначение Глешера для отношений.
22.2. Теорема сложения для функции sn a.
22.21. Теоремы сложения для сп а и dn и.
22.3. Постоянная К.
22.301. ВыражениеК через k.
22.302. Эквивалентность определений К.
22.31. Свойства периодичности (связанные с <) эллиптических функций Якоби.
22.32. Постоянная.
22.33. Свойства периодичности (связанные сК -f- iK!) эллиптических функций Якоби.
22.34. Свойства периодичности (связанные с iK,) эллиптических функций Якоби.
22.341. Поведение эллиптических функций Якоби в окрестности начала координат и в окрестности 1К!.
22.35. Общее описание функций sn a, en u, dn и.
22.351. Связь между эллиптическими функциями Вейерштрасса и
Якоби.
22.4. Мнимое преобразование Якоби.
22.41. Доказательство мнимого преобразования Якоби при помощи тэта-функций.
22.42. Преобразование Ландена.
22.421. Преобразование эллиптических функций.
22.5. Бесконечные произведения для эллиптических функций Якоби.
22.6. Ряды Фурье для эллиптических функций Якоби.
22.61. Ряды Фурье для обратных величин эллиптических функций
Якоби.
22.7. Эллиптические интегралы.
22.71. Представление полинома четвертой степени в виде произведения двух сумм квадратов.
22.72. Три рода эллиптических интегралов.
22.73. Эллиптический интеграл второго рода. ФункцияЕ (и).
22.731. Дзета-функция Ъ (и).
22.732. Формулы сложения дляЕ (и) и Z (и). ,.
22.733. Мнимое преобразование Якоби для функции Z (и).
22.734. Мнимое преобразование Якоби для функции Е{и).
22.735. Соотношение Лежандра.
22.736. Свойства полных эллиптических интегралов, рассматриваемых как функции модуля.
22.737. Значения полных интегралов для малых значений k.
22.74. Эллиптический интеграл третьего рода.
22.741. Динамическое Приложение эллиптического интеграла
третьего рода.
22.8. Лемнискатные функции.
22.81. ЗначенияК и д для частных значений k.
22.82. Геометрическое толкование функций sn, en a, dn а.
Литература .
Примеры.
Глава 23. Эллипсоидальные гармонические функции и уравнение Ламе.
23.1. Определение эллипсоидальных гармонических функций.
23.2 Четыре вида эллипсоидальных гармонических функций.
23.21. Построение эллипсоидальных гармонических функций первого вида.
23.22. Эллипсоидальные гармонические функции второго вида.
23.23. Эллипсоидальные гармонические функции третьего вида.
23.24. Эллипсоидальные гармонические функции четвертого вида.
23.25. Выражения Нивена для эллипсоидальных гармонических
Функций через однородные гармонические функции.
Эллипсоидальные гармонические функции степени n
23.3. Эллипсоидальные координаты.
23.31. Униформизирующие переменные, связанные с эллипсоидальными координатами.
23.32. Уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах.
23.33. Эллипсоидальные гармонические функции в эллипсоидальных координатах.
23.4. Различные формы дифференциального уравнения Ламе.
23.41. Решения уравнения Ламе в виде рядов.
23.42. Определение функций Ламе.
23.43. Об отсутствии кратных корней у функций Ламе.
23.44. Линейная независимость функций Ламе.
23.45. Линейная независимость эллипсоидальных гармонических функций.
23.46. Теорема Стилтьеса о нулях функций Ламе.
23.47. Функции Ламе второго рода.
23.5. Уравнение Ламе в связи с эллиптическими функциями Якоби.
23.6. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции Ламе первого и второго вида.
23.61. Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции Ламе третьего и четвертого вида.
23.62. Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических функций.
23.63. Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических
Функций третьего и четвертого вида.
бобщения уравнения Ламе.
23.71. Форма Якоби обобщенного уравнения Ламе.
Литература .
Примеры.
Именной указатель.
Предметный указатель
А
Абеля неравенство ~ следствие Харди I Абсолютная сходимость | двойных рядов I ~ признак Даламбера I ~ — Де Моргана I ~ — Коши I ~ ряда I Абсолютно сходящиеся | бесконечные произведения I ~ двойные ряды I ~ ряды I ~ — основные свойства I ~ — умножение I Абсолютное значение — см. Модуль Автоморфные функции II Аксиомы арифметики и геометрии I Алгебраическая лемма Адамара I Амплитуда I Аналитическая функциональная зависимость I Аналитические выражения I — функции I — ->- значение в точке лежащей внутри контура I ~ Коши теорема I ~ неравенство Коши I ~ обращение Морера теоремы Коши I ~ определение I ~ отличие от моногенной функции (по Борелю) I ~ представляемые интегралами I ~ представляемые равномерно сходящимися рядами I ~ производные I Аналитические функции уравнения Римана I Аналитическое продолжение I ~ гипергеометрического ряда (функции) II ~ невозможность I ~ по двум различным путям I ~ формула I Аналитичность суммы степенного ряда I — функции I в области I <~ во всей области I ~ в смысле Коши I ~ ~ эквивалентность определению Вейерштрасса I ~ в точке I ~ по Вейерштрассу I Аналог параллелограмма периодов II Аргана диаграмма I Аргумент I — главное значение I — непрерывность I — суммы комплексных чисел I Асимптотические разложения I — ~ дифференцирование I ~ интегрирование I ~ умножение I Асимптотическое равенство для функции параболического цилиндра большого порядка II Асимптотическое разложение | бесселевых функций II — ~ ~ при большом \г\ II — ~ ~ Ханкеля для комплексной области II ') Римские цифры обозначают I или II ЧАСТЬ книги арабские —страницы. Тире (—) заменяет слово тильда (~) — группу слов (если заменяется не весь предыдущий термин то конец заменяемой группы слов отмечен вертикальной черточкой).
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
