|
Э.Т.Уиттекер, Дж.Н.Ватсон. Курс современного анализа. Часть первая. Основные операции анализа.
| | Содержание
Предисловие ко второму русскому изданию.
Глава 1. Комплексные числа.
1.1. Рациональные числа.
1.2. Теория иррациональных чисел Дедекинда.
1.3. Комплексные числа.
1.4. Модуль комплексного числа.
1.5. Диаграмма Аргана.
Литература .
Примеры.
Глава 2. Теория сходимости.
2.1. Определение предела последовательности.
2.11. Определение термина «порядок величины».
2.2. Предел возрастающей последовательности.
2.21. Предельные точки и теорема Больцано — Вейерштрасса. Определение «наибольшего из пределов».
2.22. Теорема Коши о необходимом и достаточном условии существования предела.
2.3. Сходимость бесконечных рядов.
2.301. Неравенство Абеля.
2.31. Признак сходимости Дирихле.
2.32. Абсолютная и условная сходимость.
2.33. Геометрический ряд
2.34. Теорема сравнения.
2.35. Признак абсолютной сходимости Коши.
2.36. Признак абсолютной сходимости Даламбера.
2.37., Общая теорема о рядах
2.38. Сходимость гипергеометрического ряда.
2.4. Влияние изменения порядка членов ряда.
2.41. Основные свойства абсолютно сходящихся рядов.
2.5. Двойные ряды.
2.51. Методы нахождения сумм двойных рядов.
2.52. Абсолютная сходимость двойных рядов.
2.53. Теорема Коши об умножении абсолютно сходящихся рядов.
2.6. Степенные ряды.
2.61. Сходимость рядов, получаемых дифференцированием степенного ряда.
2.7. Бесконечные произведения.
2.71. Примеры бесконечных произведений.
2.8. Бесконечные определители.
2.81. Сходимость бесконечного определителя.
2.62. Теорема об изменении элементов в сходящихся бесконечных определителях.
Литература .
Примеры.
Глава 3. Непрерывные функции и равномерная сходимость.
3.1. Зависимость одного комплексного числа от другого.
3.2. Непрерывность функций вещественных переменных.
3.21. Простые кривые. Континуумы.
3.22. Непрерывные функции комплексных переменных.
3.3. Ряды с переменными членами. Равномерная сходимость.
3.31. Об условии равномерной сходимости.
3.32. Связь разрывности с неравномерной сходимостью.
3.33. Различие между абсолютной и равномерной сходимостью.
3.34. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.
3.341. Равномерная сходимость бесконечных произведений.
3.35. Признак равномерной сходимости Харди.
3.4. Исследование некоторых двойных рядов.
3.5. Общее понятие равномерности.
3.6. Видоизмененная теорема Гейне — Бореля.
3.61. Равномерная непрерывность.
3.62. Вещественная функция вещественной переменной, непрерывная в замкнутом интервале, достигает своей верхней границы
3.63. Вещественная функция вещественной переменной, непрерывная в замкнутой области, принимает все значения между верхней и нижней границами.
3.64. Полная вариация функции вещественной переменной.
3.7. Равномерная сходимость степенных рядов.
3.71. Теорема Абеля о непрерывности вплоть до границы круга сходимости.
3.72. Теорема Абеля об умножении рядов.
3.73. Степенные ряды, тождественно равные нулю.
Литература .
Примеры.
Глава 4. Теория интеграла Римана.
4.1. Понятие интегрирования.
4.11. Верхний и нижний интегралы.
4.12. Условие интегрируемости в смысле Римана.
4.13. Одна общая теорема об интеграле Римана.
4.14. Теоремы о среднем значении.
4.2. Дифференцирование интегралов, содержащих параметр.
4.3. Двойные и повторные интегралы.
4.4. Интегралы с бесконечными пределами.
4.41. Интегралы с бесконечными пределами от непрерывных функций. Необходимое и достаточное условие сходимости.
4.42. Равномерная сходимость интеграла с бесконечными пределами.
4.43. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами.431. Признаки равномерной сходимости интегралов с бесконечными пределами.
4.44. Теоремы, относящиеся к равномерно сходящимся интегралам с бесконечными пределами.
4.5. Несобственные интегралы. Главные значения.
4.51. Изменение порядка интегрирования в некоторых повторных
интегралах.
4.6. Интегрирование комплексных функций.
4.61. Основная теорема для интегралов в комплексной области.
4.62. Верхняя граница модуля интеграла в комплексной области.
4.7. Интегрирование бесконечных рядов.
Литература .
Примеры.
Глава 5. Основные свойства аналитических функций, теоремы
Тейлора, Лорана и Лиувилля.
5.1. Свойства элементарных функций.
5.11. Отступления от рассматриваемого свойства.
5.12. Определение аналитической функции комплексного переменного по Коши.
5.13. Приложение видоизмененной теоремы Гейне — Бореля.
5.2. Теорема Коши об интеграле по контуру.
5.21. Выражение значения аналитической функции в точке через интеграл, взятый по контуру, окружающему эту точку.
5.22. Производные аналитической функции (г).
5.23. Неравенство Коши (а).
5.3. Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами.
5.31. Аналитические функции, представляемые интегралами.
5.32. Аналитические функции, представляемые интегралами с бесконечными пределами.
5.4. Теорема Тейлора.
5.41. Формы остаточного члена в ряде Тейлора.
5.5. Процесс аналитического продолжения.
5.501.О функциях, к которым не может быть применен процесс аналитического продолжения.
5.51. Тождественность двух функций.
5.6. Теорема Лорана.
5.61. Природа особенностей однозначных функций.
5.62. «Бесконечно удаленная точка».
5.63. Теорема Лиувилля.
5.64. Функции без существенно особых точек.
5.7. Многозначные функции.
Литература .
Примеры.
Глава 6. Теория вычетов и Приложение ее к вычислению определенных интегралов.
6.1. Вычеты.
6.2. Вычисление определенных интегралов.
6.21. Вычисление интегралов некоторых периодических функций, взятых между пределами 0 и 2л.
6.22. Вычисление определенных интегралов, взятых между пределами
6.221. Некоторые интегралы с бесконечными пределами, содержащие синусы и косинусы.
6.222. Лемма Жордана.
6.23. Главные значения интегралов.
6.24. Вычисление интегралов вида
6.3. Интегралы Коши.
6.31. Число корней уравнения, содержащихся внутри контура.
6.4. Связь между нулями функции и нулями ее производной.
Литература
Примеры
Глава 7. Разложение функций в бесконечные ряды.
7.1. Формула Дарбу.
7.2. Числа и полиномы Бернулли.
7:21. Разложение Эйлера — Маклорена.
7.3. Теорема Бюрманй.
7.31. Обобщение теоремы Бюрмана, данное Тейшейра.
7.32. Теорема Лагранжа.
7.4. Разложение функций некоторого класса на простейшие дроби
7.5. Разложение функций некоторого класса в бесконечные произведения.
7.6. Теорема Вейерштрасса о бесконечных произведениях.
7.7. Разложение периодических функций некоторого класса
в ряд по котангенсам.
7.8. Теорема Бореля.
7.81. Интеграл Бореля и аналитическое продолжение.
7.82. Разложение в ряд обратных факториалов.
Литература .
Примеры.
Глава 8. Асимптотические разложения и суммируемые ряды.
8.1. Простой пример асимптотического разложения.
8.2. Определение асимптотического разложения.
8.21. Другой пример асимптотического разложения.
8.3. Умножение асимптотических разложений.
8.31. Интегрирование асимптотических разложений.
8.32. Единственность асимптотического разложения.
8.4. Методы «суммирования» рядов.
8.41. Метод суммирования Бореля.
8.42. Метод суммирования Эйлера.
8.43. Метод суммирования Чезаро.
8.431. Общий метод суммирования Чезаро.
8.44. Метод суммирования Рисса.
8.5. Теорема Харди.
Литература .
Примеры.
Глава 9. Ряды Фурье и тригонометрические ряды.
9.1. Определение ряда Фурье.
9.11. Область, внутри которой тригонометрический ряд сходится
9.12. Выражение коэффициентов через сумму тригонометрического ряда.
9.2. Об условиях Дирихле и теореме Фурье.
9.21. Представление функции рядом Фурье на произвольном отрезке.
9.22. Ряды косинусов и ряды синусов.
9.3. Свойства коэффициентов ряда Фурье.
9.31. Дифференцирование рядов Фурье.
9.32. Определение точек разрыва.
9.4. Теорема Фейера.
9.41. Леммы Римана — Лебега.
9.42. Доказательство теоремы Фурье.
9.43. Доказательство Дирихле — Бонне теоремы Фурье.
9,.44. Равномерная сходимость рядов Фурье.
9.5. Теорема Гурвица— Ляпунова о коэффициентах Фурье.
9.6. Риманова теория тригонометрических рядов.
9.61. Ассоциированная функция Римана.
9.62. Свойства ассоциированной функции Римана; первая лемма Римана.:.
9.621. Вторая лемма Римана.
9.63. Теорема Римана о тригонометрических рядах.
9.631. Лемма Шварца.-.
9.632. Доказательство теоремы Римана.
9.7. Представление функции интегралом Фурье.
Литература .
Примеры.
Глава 10. Линейные дифференциальные уравнения.
10.1. Линейные дифференциальные уравнения. Обыкновенные и особые точки.
10.2. Решение дифференциального уравнения в окрестности обыкновенной точки.
10.21. Единственность решения.
10.3. Правильные точки дифференциального уравнения.
10.31. Сходимость разложения из § 10.3.
10.32. Нахождение второго решения в случае, когда разность показателей будет целым числом или нулем.
10.4. Решения, годные для больших значений
10.5. Неправильные особые точки и слияние.
10.6. Дифференциальные уравнения математической физики.
10.7. Линейные дифференциальные уравнения с тремя особыми точками.
10.71. Преобразования Я-уравнения Римана.-.
10.72. Связь Я-уравнения Римана с гипергеометрическим уравнением.
10.8. Линейные дифференциальные уравнения с двумя особыми точками.
Литература .
Примеры.
Глава 11. Интегральные уравнения.
11.1. Определение интегрального уравнения.
11.11. Алгебраическая лемма.
11.2. Уравнение Фредгольма и его предполагаемое решение
11.21. Исследование решения Фредгольма.
11.22. Взаимные функции Вольтерра.
11.23. Однородные интегральные уравнения.
11.3. Интегральные уравнения первого и второго рода.
11.31. Уравнение Вольтерра.
11А. Метод последовательных подстановок Лиувилля—Неймана.
11.5. Симметричные ядра.
11.51. Теорема Шмидта: если ядро симметрично, то уравнение D (к) = 0 имеет по меньшей мере один корень.
11.6. Ортогональные функции.
11.61. Связь ортогональных функций с однородными интегральными уравнениями.
11.7. Разложение симметричного ядра.
11.71. Решение уравнения Фредгольма при помощи рядов.
11.8. Решение интегрального уравнения Абеля.
11.81. Интегральное уравнение Шлёмильха.
Литература .
Примеры.
Приложение . Элементарные трансцендентные функции.
АЛ.О некоторых допущениях, принятых в Глава х 1—4
А.11.
Содержание
настоящего приложения.
А.12. Логический порядок развития элементов анализа.
А.2. Показательная функция ехр г.
А.21. Теорема сложения для показательной функции и ее следствия
А.22. Различные свойства показательной функции.
А.З. Логарифмы положительных чисел.
А.31. Непрерывность логарифма.
А.32. Дифференцирование логарифма.
А.ЗЗ. Разложение функции Ln(l+a) по степеням а.
А.4 Определение синуса и косинуса.
А.41. Основные свойства функций sin z и cos z.
А.42. Теорема сложения для функций sin z и cos z.
А.5. Периодичность показательной функции.
А.51. Решение уравнения exp x = l.
А.52. Решение одной системы тригонометрических уравнений.
А.521. Главное решение системы тригонометрических уравнений.
А.522. Непрерывность аргумента комплексного переменного.
А.6. Логарифмы комплексных чисел.
А.7. Аналитическое определение углов.
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
