|
Г.Е.Шилов МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО) части 1 и 2
| | Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса математического анализа, хотя формально знаний основ анализа не предполагается. Книга рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания.В гл. 1 дается аксиоматическое построение теории вещественных чисел.В гл. 2 излагаются элементы теории множеств и теории математических структур. Гл. 3 посвящена метрическим пространствам.В гл. 4 строится общая теория пределов, использующая упрощенную схему фильтров Картана.В гл. 5 рассматривается понятие непрерывности и изучаются элементарные трансцендентные функции.В гл. 6 излагается теория рядов— числовых и функциональных. Гл. 7—8 посвящены собственно дифференциальному исчислению, а гл. 9—интегральному исчислению. Гл. 10 вводит читателя в теорию аналитических функций; ее методы используются, в частности, в гл. 11 о несобственных интегралах.
Оглавление
Предисловие ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕВ АНАЛИЗ
Глава 1. Вещественные числа
§1.1. Первоначальные сведения о множествах
§ 1.2. Аксиомы вещественных чисел
§ 1.3. Следствия из аксиом сложения
§ 1.4. Следствия из аксиом умножения
§ 1.5. Следствия из аксиом порядка
§ 1.6. Следствия из аксиомы о верхней грани
§ 1.7. Принцип Архимеда и его следствия
§ 1.8. Принцип вложенных отрезков Кантора
§ 1.9. Расширенная область вещественных чисел Дополнение к главе
1. Логическая символика
Задачи
Историческая справка
Глава 2. Элементы теории множеств
§2.1. Операции над множествами
§ 2.2. Эквивалентность множеств
§ 2.3. Счетные множества
§ 2.4. Множества мощности континуума
§ 2.5. Понятие о математической структуре. Изоморфизм структур
§ 2.6. Пространство п измерений
§ 2.7. Комплексные числа
§ 2.8. Общее понятие функции.
График
Задачи
Историческая справка
Глава 3. Метрические
пространства
§3.1. Определения и примеры
§ 3.2. Открытые множества
§ 3.3. Сходящиеся последовательности и гомеоморфизм
§ 3.4. Предельные точки
§ 3.5. Замкнутые множества
§ 3.6. Всюду плотные множества и замыкания
§ 3.7. Полные пространства
§ 3.8. Пополнение
§ 3.9. Компактность
Задачи
Историческая справка
Глава 4. Общая теория пределов
§ 4,1. Определение предела
§ 4.2. Общие теоремы о пределах
§ 4.3. Пределы числовых функций
§ 4.4. Предельные точки функции
§ 4.5. Функции, неубывающие по направлению
§ 4.6. Основные теоремы о числовых последовательностях
§ 4.7. Пределы векторных
функций
Задачи
Историческая справка
Глава 5. Непрерывные функции
§ 5.1. Непрерывные функции на
метрическом пространстве
§ 5.2. Непрерывные числовые
функции на числовой оси
§ 5.3. Монотонные функции
§ 5.4. Логарифм
§ 5.5. Экспонента
§ 5.6. Тригонометрические функции
§ 5.7. Приложения тригонометрических функций
§ 5.8. Векторные непрерывные функции векторного переменного
§ 5.9. Последовательности функций
Задачи
Историческая справка
Глава 6. Ряды
§ 6.1. Числовые ряды. Знакоположительные ряды
§ 6.2. Ряды с любыми вещественными членами
§ 6.3. Действия с рядами
§ 6.4. Ряды векторов
§ 6.5. Ряды функций
§ 6.6. Степенные ряды
Задачи
Историческая справка
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 7. Производная
§ 7.1. Определение производной
§ 7.2. Второе определение производной
§7.3. Дифференциал
§ 7.4. Теоремы о конечных приращениях
§ 7.5. Расположение кривой относительно своей касательной
§ 7.6. Правила Лопиталя
Задачи
Историческая справка
Глава 8. Высшие производные
§ 8.1. Определения и примеры
§ 8.2. Формула Тейлора
§ 8.3. Анализ поведения функции в окрестности данной точки
§ 8.4. Высшие дифференциалы
§ 8.5. Ряд Тейлора
§ 8.6. Экспонента и тригонометрические функция в комплексной области
§ 8.7. Гиперболические функции
Задачи
Историческая справка
Глава 9. Интеграл Римана
§9.1. Определение интеграла и теоремы существования
§ 9.2. Зачем нужен интеграл?
§ 9.3. Интеграл как функция верхнего предела
§ 9.4. Техника неопределенного интегрирования
§ 9.5. Вычисление определенных интегралов
§ 9.6. Приложения интеграла
§ 9.7. Интегрирование и дифференцирование последовательности функций
§ 9.8. Интегрирование и дифференцирование по параметру
§9.9. Криволинейные интегралы
Задачи
Историческая справка
Глава 10. Аналитические функции
§ 10.1. Определения и примеры
§ 10.2. Криволинейные интегралы от комплексных функций
§ 10.3. Теорема Коши и ее следствия
§ 10.4. Вычеты и изолированные особые точки
§ 10.5. Отображения и элементарные функции
Задачи
Историческая справка
Глава 11. Несобственные интегралы
§ 11.1. Несобственные интегралы первого рода
§ 11.2. Несобственные интегралы второго и третьего рода
§ 11.3. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
§ 11.4. Несобственные интегралы, содержащие параметр
§ 11.5. Гамма-функция и бета- функция Эйлера
Задачи
Историческая справка
Указания и ответы к задачам
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Абель Абсолютная величина вещественногочисла Автоморфизм п-мерногопространства -----тождественный — структуры Адамар Аналитическая функция ---вещественная---целая Аналитическое продолжение АрганАргумент комплексного числа — функции Ариабхата Арифметико-геометрическое среднееАрифметическая степень множества — сумма множества Арифметическое произведение множеств Архимед Архимеда принцип Асимптотическая единица — принадлежность
Б
Базис Барроу Бернулли И. Бернулли Я. Бесконечно удаленная точка Бесконечность Бета-функция Больцано Больцано - Вейерштрасса принцип Бомбелли Борель Брус замкнутый — открытый Бурбаки Бюрги
В
Валле-Пуссен Вейерштрасс Вектор — единичный — нормированный Верхний предел Верхняя грань ---точная Вессель Вещественная ЧАСТЬ Взаимно однозначное соответствие Включение Вложенных промежутков система Внутренняя точка Высшие дифференциалы Вычет — логарифмический
Г
Гамма-функция — асимптотическое выражение — в комплексной области — формула дополнения Гармоническая функция Гаусс Гёдель Гейне Гентцен Гильберт Гиперболические функции ---обратные Гипергеометрический ряд Гомеоморфизм Гомеоморфные метрики Гранди Граница множества Грассман График функции Грегори Группировка членов ряда Грушни В. В.
Д
Даламбер Дарбу Двоичная система Дедекинд Десятичные знаки Диаметр Дирихле Дифференциал сложной функции — функции ---высшего порядка Дифференцирование интеграла по параметру — несобственного интеграла по параметру — последовательности функций Длина вектора — дуги ---как функция параметра ---эллипса — окружности Дополнение множества Дробная ЧАСТЬ Дю-Буа-Раймон
Е
Евдокс Евклид Единица — асимптотическая Единичный вектор
З
Зависимое переменное Замкнутый контур Замыкание Зендель Знаки включения Значение функции
И
Изолированная точка Изоморфизм структур Индукции математической метод Интеграл криволинейный — Лапласа — неопределенный — несобственный абсолютно сходящийся ---второго рода ---первого рода ---расходящийся ---сходящийся ---третьего рода ---условно сходящийся ---определенный — по замкнутому контуру — РиманаЗО --- его пределы ---на брусе ---на компакте — Стилтьеса ---криволинейный — типа Коши — Френеля — Фурье ---особый Интегральная сумма Интегрирование по параметру . — по частям -----многократное — последовательности функций — через подстановку Интегрируемая мажоранта — функция Интервал — смежный — составляющий Интрезок Иррациональные числа
К
Казорати Кантор Кантора принцип вложенных отрезков КартанА. Касательная Катеноид Кеплер Клеро Колебание функции ---в точке Компакт — нагруженный Компактное метрическое пространство Комплексно сопряженные числа Комплексные числа Конечные точки — числа Континуум Конфниальные последовательности Координаты вектора Корень аналитической функции -----кратности к — n-й степени Коши . Коэн П. Коэффициенты Лорана — Тейлора Кратность корня Кривая кусочио-гладкая Криволинейный интеграл Критерий Дю-Буа-Раймона — Лебега — Коши для векторного ряда ---для предела векторной функции ---для предела по направлению ---для равномерной сходимости -----сходимости несобственного интеграла -------числового ряда -------числовой последовательности — Римана — Хаусдорфа Круговые функции Крылов А. Н. Кэлн
Л
Лагранж Лебег Лейбниц Лемма Жордана — о замкнутых шарах — о конечном покрытии Линейная зависимость Лниейно упорядоченное множество Лобачевский Логарифм — натуральный Логарифмирование Лопиталь ЛузниН.Н. Люилье Люстерник Л. А.
М
Максимальное из двух чисел Максимум локальный Меиголн Мера Жордана Метод математической индукции Метрика Метрическое пространство ---компактное ---локально компактное ---полное ---предкомпактное Минимальное из двух чисел Минимум локальный Мнимая ЧАСТЬ Многочлен Тейлора Множества геометрически равные Множество — бесконечное — вещественных чисел — всюду плотное — жорданово — замкнутое — конечное — линейно упорядоченное — мощности континуума — несчетное — ограниченное ---в метрическом пространстве ---сверху ---снизу — открытое — пустое — счетное Модуль вещественного числа — комплексного числа Мощность множества Мур
Н
Направление Натуральные числа Невозрастающая последовательность Независимое переменное Немировский А. С. Неограниченное множество Неопределенный интеграл Неотрицательное число Непер Неположительное число Непрерывность односторонняя — равномерная Неравенство Коши — Коши - Буняковского — треугольника — четырехугольника — Юнга Несобственный интеграл второго рода ---первого рода ---третьего рода Несчетное множество Неубывающая последовательность Нижний предел Нижняя грань ---точная Новиков П. С. Норма вектора Нормированный вектор Нуль — аналитической функции Нуль аналитической функции кратности к Ньютон
О
Область — односвязная — связная Обратная функция Обратное вещественное число Обратные гиперболические функции — тригонометрические функции Объединение множеств Объем множества — шара Ограниченная последовательность — сверху последовательность — снизу последовательность Односторонняя непрерывность Окрестность точки Определенный интеграл Ортогональные векторы Особая точка изолированная ---устранимая Особые точки кривой Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме -------в форме Лагранжа Отображение — конформное — непрерывное Отражение Отрезок Отрицательное число Оттервал
П
Паламодов В. П. Пеано Первообразная Пересечение множеств Перестановка членов ряда Периодическая функция Период функции Пик ар Площадь криволинейной трапеции — круга — плоской фигуры -----в полярных координатах — поверхности вращения — эллипса Поверхность сферы Поворот Подмножество — истинное Позиционная запись вещественных чисел Показатель степени Поле комплексных чисел — числовое Полна Полнота системы аксиом Положительное число Полукасательная левая Полукасательная правая Полюс n-го порядка Полярные координаты ---в пространстве Полярный радиус — угол Пополнение Последовательности конфниальные Последовательность — невозрастающая — неубывающая — ограниченная ---сверху ---снизу — расходящаяся — сходящаяся — фундаментальная — функций Постоянная Эйлера Потенцирование Правила Лопиталя Предел по направлению -----на подмножестве Предельная точка подмножества ---последовательности точек -----чисел ---функции -----верхняя -----нижняя Предкомпактное метрическое пространство Преобразование Абеля — подобия Признак Абеля Дирихле для рядов -----для несобственных интегралов -------равномерной сходимости интегралов — Вейерштрасса — Даламбера — Коши — Лейбница ---для интегралов — Раабе — сравнения — сходимости интегральный Пример Ван-дер-Вардена Принцип аргумента — максимума Произведение бесконечное — вещественных чисел — множеств ---прямое — ряда на число — рядов Производная — вторая — левая — логарифма — обратной функции — односторонняя — по множеству — порядка п — правая — сложной функции — степеннйй функции Производная тригонометрических функций — частная Промежуток Пространство вещественное n-мерное — евклидово n-мерное Противоположное число Птолемей Путь
Р
Равномерная непрерывность — сходимость Равномощность множеств Радиус сходимости Разбиение — его параметр — последующее — с отмеченными точками Разложение рациональной функции на простейшие дроби — целой функции на простейшие дроби Расстояние — между подмножествами — от точки до множества Расходящаяся последовательность Рациональные числа Региомонтан Рефлексивность Риман Риманова поверхность Ролль Ряд абсолютно сходящийся -----векторный — векторов — гармонический — гипергеометрический — двусторонний --- симметричное суммирование — знаконеотрицательный — знаконеположительный — знакоотрицательный — знакоположительный — Лорана --- главная ЧАСТЬ --- правильная ЧАСТЬ — сгруппированный — степенной --- радиус сходимости — Тейлора — условно сходящийся — функций --- равномерная сходимость --- сумма — числовой --- отрезок --- расходимость --- сходимость --- частные суммы
С
Свертка Свертывание Сдвиг Сеге Симметричность Система двоичная — троичная Скалярное произведение Сложная функция Слой Смежный интервал Соприкасающаяся парабола Составляющий интервал Сохоцкий Ю. В. Среднее интегральное Средняя ордината Стевни Степенная функция Степень арифметическая множества — вещественного числа Стилтьес Стоке Структура математическая Сумма арифметическая множеств — вещественных чисел — множеств — рядов Сфера Сходимость равномерная ---внутри области Сходящаяся последовательность --- предел Счетное множество Тейлор Теорема Абеля — Абеля — Лиувилля — Больцано — Бэра — Вейерштрасса — Гение — Дирихле — единственности аналитической функции — Коши — Коши — Адамара — Лагранжа — Лиувилля — о вычетах — о среднем — Римана — Ролля — существования корня многочлена — Фрагмена - Линделёфа — Хаусдорфа — Штейница — Эрмита Тождество Эйлера Торричелли
Т
Точка выпуклости вверх ---вниз — изолированная —конденсации — непрерывности — перегиба — разрыва — существенно особая Транзитивность Трансцендентные числа Тригонометрические функции ---в комплексной области ---обратные Троичная система
У
Угол между векторами Уравнение Лапласа Условия Коши—Римана Успенский В. А.
Ф
Ферм Флюента Флюксия Формула Валлиса — Дирихле — Коши — Лейбница — Ньютона -Лейбница — Тейлора --- остаточный член — Фруллани Формулы Эйлера Фреше Фробениус Фундаментальная последовательность Функций эквивалентные по направлению Функция — аналитическая ---вещественная ---в точке ---целая — бесконечно большая -----по сравнению ---дифференцируемая ---малая -----по сравнению — векторная — вещественного переменного — возрастающая — выпуклая вверх ---вниз — гармоническая — гладкая ---n-го порядка — Дирихле — дифференцируемая в точке ---по множеству — дробно-линейная — кусочно-гладкая — кусочно-непрерывная — кусочно-постоянная — многозначная — монотонная — невозрастающая ---по направлению — неотрицательная по направлению — непрерывная в точке ---на множестве ---слева ---справа — неубывающая ---по направлению — n-кратно-дифференцируемая -----по множеству — область значений — — определения — обратная — ограниченная ---по модулю ---сверху Функция ограниченная снизу — однозначная — однолистная — отрицательная бесконечно большая — положительная бесконечно большая — положительная по направлению — равномерно непрерывная — Римана — сложная — степенная — убывающая — характеристическая
Х
Харди Хаусдорф
Ц
Целая аналитическая функция — ЧАСТЬ Целое кратное Целые числа
Ч
Частная производная Частное вещественных чисел Чеботарев Н. Г. Числа иррациональные — комплексные — конечные — натуральные — рациональные Числа трансцендентные — целые Число е — неотрицательное — неположительное — отрицательное — ? — положительное Числовая ось Числовое поле Числовой ряд --- отрезок --- расходимость --- сумма --- сходимость --- частные суммы
Ш
Шар — замкнутый — открытый Шварц Г. Штифель
Э
Эйлер Эквивалентные множества Экспонента — в комплексной области Экстремум локальный Эллиптические интегралы Энгельс
Я
Ячейка — ее мера
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
