|
Кудрявцев Л. Д. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Т. 2.
| | В учебнике излагаются основные сведения из математического тали за. Рассматриваются как классические вопросы, так и более новые, подготавливающие учащегося к чтению современной математической литературы.
Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций.
Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.
Оглавление
Глава пятая
Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение)
§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных
39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций
39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных
§ 40. Экстремумы функций многих
переменных
40.1. Необходимые условия экстремума
40.2. Достаточные условия строгого экстремума
40.3. Замечания об экстремумах на множествах
§ 41. Неявные функции
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением
41.2. Произведения множеств
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений
41.4. Отображения. Свойства якобианов отображений
41.5. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области
41.6. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых
41.7. Замена переменных
§ 42. Зависимость функций
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций
42.2. Достаточные условия зависимости
функций
§ 43. Условный экстремум
43.1. Понятие условного экстремума
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума
43.3. Замечания о достаточных условиях для точек условного экстремума
Глава шестая
Интегральное исчисление функций многих
переменных
§ 44. Кратные интегралы
44.1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Множества меры нуль
44.2. Квадрируемые и кубируемые множества
44.3. Определение кратного интеграла
44.4. Существование кратного интеграла
44.5. Свойства кратного интеграла
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному
45.1. Основная теорема для двумерного случая
45.2. Обобщения на n-мерный случай
§ 46. Замена переменных в кратном интеграле
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае
46.2. Замена переменных в двухкратном интеграле
46.3. Криволинейные координаты
46.4. Замена переменных в n-кратном интеграле
§ 47. Криволинейные интегралы
47.1. Криволинейные интегралы первого рода
47.2. Криволинейные интегралы второго рода
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым
47.5. Формула Грина
47.6. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов
47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоских областей
47.8. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
§ 48. Несобственные кратные интегралы
48.1. Основные определения
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак
§ 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов
49.1. Вычисление площадей и объемов
49.2. Физические приложения кратных интегралов
§ 50. Элементы теории поверхностей
50.1. Общие понятия
50.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
50.3. Первая квадратичная формула поверхности
50.4. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними
50.5. Площадь поверхности
50.6. Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности
§ 51. Поверхностные интегралы
51.1. Определенней свойства поверхностных интегралов
51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм
51.3. Поверхностные интегралы по поверхностям с коническими точками по кусочно-гладким поверхностям
§ 52. Скалярные и векторные поля
52.1. Определения
52.2. Формула Остроградского — Гаусса. Инвариантное определение дивергенции.
52.3. Формула Стокса. Инвариантное определение вихря
52.4. Соленоидальные векторные поля
52.5. Потенциальные векторные поля
§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра
§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра
54.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра
54.3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов
54.4. Эйлеровы интегралы
54.5. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра
Глава седьмая
Ряды Фурье. Интеграл Фурье
§ 55. Классические ряды Фурье
55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации
55.4. Сходимость рядов Фурье для кусочно дифференцируемых функций
55.5. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических
55.6. Приближение непрерывных функций многочленами
55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х
55.8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
55.9. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье........
55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье.
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье
56.2. Различные виды записи формулы Фурье. Преобразование Фурье
56.3. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций
56.4. Преобразование Фурье производных
56.5. Свертка и преобразование Фурье
56.6. Производная преобразования Фурье
§ 57. Функциональные пространства
57.1. Метрические пространства
57.2. Линейные пространства
57.3. Нормированные пространства
57.4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства
57.5. Пространство L2
§ 58. Оргонормированные базисы и разложения по ним
58.1. Ортонормированные системы
58.2. Ортогонализация систем
58.3. Ряды Фурье
68.4. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств
68.5. Некоторые следствия для классических рядов Фурье и рядов Фурье по полиномам Лежандра
68.6. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля
§ 59. Обобщенные функции
59.1. Общие соображения
59.2. Линейные пространства
Предметный указатель
А
Абсолютно сходящийся интеграл Аддитивность интеграла ---полная — меры Аксиомы расстояния
Б
Базис пространства Банахово пространство Бесконечномерное пространство Бесселя неравенство Бета-функция
В
Вандермоида определитель Вейерштрасса признак — теорема Вектор (точка) линейного пространства Вектор-функция непрерывная Верхняя мера (n-мерная) — сумма Дарбу Веса Вихрь (ротор) Внутренняя точка поверхности
Г
Гамма функция Гильбертово пространство Главное значение интеграла Градиент вектора — функции Грамма определитель Граничный контур ---внешний ---внутренний Грина формула
Д
Дарбу сумма Двойная точка (точка самопересечения) сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства .. Определение обобщенных функций. Пространства D и D' .. Дифференцирование обобщенных функций .. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S' .. Преобразование Фурье в пространстве S Преобразование Фурье обобщенных функций Добавление Некоторые вопросы приближенных вычислений .. Вычисление значений функций .. Решение уравнений Декартов лист Диаметр множества Дивергенция Дирака функция Дирихле интеграл — ядро Допустимые преобразования параметров -функция
Ж
Жордана верхняя мера
З
Зависимая система функций Замкнутая система
И
Изометрическое соответствие Изометричные пространства Изоморфизм пространств Изоморфные пространства Интеграл Дирихле — зависящий от параметров — криволинейный первого рода ---второго рода — Лебега — несобственный ---расходящийся ---сходящийся -----абсолютно -----равномерно — повторный — Пуассона — Римана — типа потенциала — Фурье — Эйлера первого рода (бета-функция) ---второго рода (гамма-функция) Интегральная сумма Римана Интегрируемая функция Интерполяционный многочлен ---Лагранжа Интерполяция функций .. Квадратурные формулы .. Погрешность квадратурных формул
К
Касательная плоскость Квадратичная форма неопределенная ---определенная -----отрицательно -----положительно Квадратурная формула ---точная для многочленов данного порядка Квадрируемое множество Квазинорма (полунорма) — порожденная квазискалярным произведением Квазинормированное пространство Квазискалярное произведение Классический ряд Фурье Комплексная запись ряда Фурье Комплексное линейное пространство Коническая точка Контур граничный ---внешний ---внутренний — ограничивающий поверхность Координатная линия Координатный параллелограмм Координаты криволинейный — местные Координаты (параметры) поверхности — сферические — цилиндрические — элемента Коши — Буняковского неравенство Коши критерий Коши — Шварца неравенство Коэффициенты Фурье Краевая точка Край поверхности Кратная точка поверхности Кратный интеграл Римана Кривая непрерывно дифференцируемая -----без особых точек — Пеано Криволинейный интеграл первого рода ---второго рода Критерий Коши — Сильвестра Кубируемое множество Кубы ранга к Кусочно дифференцируемая функция Лагранжа интерполяционный многочлен — форма остаточного члена формулы Тейлора — формула конечных приращений — функция
Л
Лебега интеграл Лежандра полиномы Лейбница правило Линейная оболочка системы Линейное пространство ---комплексное ---со сходимостью Линейно зависимая система — независимая система Линейный функционал Локально интегрируемая функция Ломаная вписанная в кривую
М
Масса фигуры Матрица Якоби Мёбиуса лист Мелкость разбиения Мера (n-мерная) — верхняя Местные координаты Метод касательных — хорд Метрика (расстояния) — порожденная нормой Метрическое пространство ---полное Многочлен интерполяционный — Тейлора — тригонометрический Множество квадрируемое — кубируемое — меры нуль — ограниченное — плотное в пространстве Моменты фигуры
Н
Наилучшее приближение элемента Независимая система функций Неопределенная квадратичная форма Неособая точка поверхности Непрерывная функция Непрерывное продолжение функции Непрерывно дифференцируемая кривая -----без особых точек ---функция — продолжаемая функция Непрерывный функционал Неравенство Бесселя — Коши — Буняковского — Коши — Шварца Несобственный интеграл Неявная функция Нижняя сумма Дарбу Норма — порождающая метрику — порожденная скалярным произведением Нормаль к поверхности Нормальная прямая Нормированное пространство Носитель поверхности — точки поверхности — функции Нулевой элемент Ньютоновский потенциал
О
Область интегрирования — объемно односвязная — односвязная — поверхностно односвязная — элементарная относительно оси Обобщенная функция ---медленного роста Образ множества Обратное преобразование Фурье Обратный элемент Ограниченное множество Определенная квадратичная форма Определитель Вандермоида — Грамма — Якоби (якобиан) Ориентация границы отрицательная ---положительная — контура ---отрицательная ---положительная — поверхности ---отрицательная ---положительная Ортогональная система Ортогональность Ортогональные элементы Ортонормированиая система Основная метрическая форма Основное пространство D Особая точка ---изолированная ---поверхности Остаточный член интерполяции ---формулы Тейлора -------в форме Лагранжа --------Пеано Остроградского — Гаусса формула Отклонение среднее квадратичное Отображение — взаимно однозначное — дифференцируемое Отображение непрерывно дифференцируемое — непрерывное — обратное — равномерно непрерывное — тождественное Отрицател ьно определенная квадратичная форма
П
Параметры (координаты) поверхности Парсеваля равенство Пеано кривая — форма остаточного члена формулы Тейлора Первая квадратичная форма поверхности Планшереля теорема Плоскость касательная Площадь поверхности Поверхностный интеграл второго рода ---первого рода Поверхность (без края) — гладкая — двусторонняя — заданная неявно — — параметрически — кусочно-гладкая — натянутая на контур — неориентируемая — непрерывно дифференцируемая — ориентированная — ориентируемая — с краем — уровня Повторный интеграл Подпространство Поле векторное — скалярное Полиномы Лежандра Полная система ---в смысле среднего квадратичного Полное метрическое пространство — нормированное пространство Положительно определенная квадратичная форма Полунорма (квазинорма) Пополнение предгильбертова пространства — метрического пространства Последовательность множеств монотонно исчерпывающих открытое множество — сходящаяся Последовательность сходящаяся в смысле среднего квадратичного — фундаментальная Последовательности эквивалентные Потенциал — ньютоновский Потенциальная функция Потенциальное поле Поток векторного поля через поверхность Правило Лейбница — штопора Предел последовательности точек Представление поверхности ---векторное ---координатное ---явное Представления эквивалентные Преобразование параметров допустимое — Фурье Признак Вейерштрасса — сравнения Принцип локализации — сохранения области ---открытого множества Продолжение функции непрерывное — функционала Проекция множества Произведение квазискалярное — скалярное — множеств Произведение элемента на число Производная обобщенной функции — по направлению Прообраз множества Пространства изометричные — изоморфные Пространство С[аЬ] — D — L — L Пространство г — — банахово — бесконечномерное — гильбертово — квазинормированное — линейное — метрическое — n-мерное — нормированное — обобщенных функций D' -----S' — предгильбертово — сепарабельное — сопряженное — функциональное Пуассона интеграл
Р
Равенство обобщенных функций — Парсеваля Равномерная сходимость семейства функций Равномерно сходящийся интеграл Разбиение множества — ранга к Разность элементов Расстояние (метрика) Регулярная обобщенная функция Римана интеграл — интегральная сумма Ротор (вихрь) Ряд в линейном пространстве — обобщенных функций — сходящийся — Тейлора — тригонометрический — Фурье ---классический
С
Свертка функций Сепарабельное пространство Сильвестра критерий Симпсона формула Сингулярная обобщенная функция Система замкнутая — линейно зависимая ---независимая — ортогональная — ортонормированиая — полная ---в смысле среднего квадратичного — тригонометрическая — функций зависимая Система функций независимая Скалярное произведение Соленоид альное поле Соответствие изометрическое Сопряженное пространство Сохоцкого формулы Среднее квадратичное отклоненне Стационарная точка Стокса формула Ступенчатая функция Сумма Дарбу — ряда. ---частичная — Фейера — Фурье Сумма элементов Суммирование ряда методом средних арифметических Сходимость в L — BS — в смысле среднего квадратичного — в среднем (в Li) Сходящаяся последовательность ---функций в D Сходящийся интеграл
Т
Тейлора многочлен — ряд — формула Теорема Вейерштрасса — о среднем — Планшереля — Фейера Точка возврата — двойная — касания — коническая — краевая — (вектор) линейного пространства — максимума --- строгого — метрического пространства — минимума --- строгого — особая — поверхности ---кратная — самоприкосновения — стационарная — экстремума Точка экстремума строгого ---условного Тригонометрическая система Тригонометрический многочлен — ряд
У
Угол между кривыми Узлы — интерполяции Уравнение связи Фейера сумма — теорема — ядро
Ф
Фигура Финитная функция Форма Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора Формула Грина — квадратурная — конечных приращений Лагранжа — обращения — прямоугольников — Симпсона — Сохоцкого — Тейлора — трапеций Фундаментальная последовательность точек Функционал — линейный — непрерывный Функциональное пространство Функция Дирака — зависимая от других функций — из L — интегрируемая в несобственном смысле — — по Риману — кусочно дифференцируемая — Лагранжа — локально интегрируемая — непрерывная — непрерывно дифференцируемая ---продолжаемая — неявная — обобщенная — с интегрируемым квадратом — ступенчатая — Хевисайда Фурье интеграл — коэффициенты Фурье преобразование — ряд — сумма
Х
Хевисайда функция
Ц
Центр тяжести фигуры Цилиндр Циркуляция
Э
Эйлера интеграл ---второго рода (гамма-функция) ---первого рода (бета-функция) Эквивалентные последовательности — представления кривой ---поверхности — элементы Элемент площади Элементы ортогональные
Я
Явное представление поверхности Ядро Дирихле — Фейера Якобиан (определитель Якоби) Якоби матрица
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
