|
Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа, Т.1
| | Оглавление
Предисловие
Глава первая Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 1. Множества и функции. Логические символы
1.1. Множества. Операции над множествами.
1.2* Функции.
1.З.* Конечные множества и натуральные числа. Последовательности
1.4. Логические символы.
§ 2. Действительные числа. Числовые множества.
2.1. Свойства действительных чисел.
2.2.* Свойства сложения и умножения.
2.3. * Свойство упорядоченности.
2.4.* Свойство непрерывности действительных чисел.
2.5. Расширенная числовая прямая.
2.6. Промежутки действительных чисел. Окрестности.
2.7. Ограниченные и неограниченные множества.
2.8. Верхняя и нижняя грани числовых множеств.
2.9. Свойства Архимеда.
2.10. Принцип вложенных отрезков
§ 3. Предел последовательности.
3.1. Определение предела последовательности.
3.2 Бесконечные пределы.
3 3 Простейшие свойства предела последовательности.
3.4 Ограниченность сходящихся последовательностей..
3.5 Монотонные последовательности.
3 6 Теорема Больцано—Вейерштрасса.
3.7 Критерий Коши сходимости последовательности.
З.8 Бесконечно малые последовательности.
3.9 Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями
над последовательностями.
3.10. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными
дробями.
3.11.* Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел.
3 12 * Верхний и нижний пределы последовательностей.
§ 4. Функции и их пределы,.,.
4.1. Действительные функции.
4.2. Способы задания функций.
4.3. Элементарные функции и их классификация.
4.4. Первое определение предела функции
4.5. Второе определение предела функции
4.6. Обобщение понятия предела функции .
4.7. Свойства пределов функций.
4.8.* Замена переменной при вычислении пределов.
4.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
4.10. Пределы монотонных функций.
4.11. Критерий Коши существования предела функции.,
§ 5. Непрерывность функции в точке,.
5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функций.
5.2. Свойства функций непрерывных в точке.
§ 6. Свойства непрерывных функций.,.
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижение экстремальных значений.
6.2. Промежуточные значения непрерывных функций.
6.3. Обратные функции.,
§ 7. Непрерывность элементарных функций.,
7.1. Многочлены и дробно-рациональные функции.,
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции.
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов
8.1. Некоторые замечательные пределы.
8.2. Сравнение функций.
8.3. Эквивалентные функции.
8.4. Метод выделения главной части функции и его применение
к вычислению пределов.
§ 9. Производная и дифференциал.
9.1. Определение производной.
9.2. Дифференциал функции.
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала.
9.4. Физический смысл производной и дифференциала.
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
9.6. Производная обратной функции.
9.7. Производная и дифференциал сложной функции.;..
9.8. Гиперболические функции и их производные.
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков.,
10.1. Производные высших порядков.
10.2. Высшие производные суммы и произведения функций.
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрически
10.4. Дифференциалы высших порядков.,
§ 11. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций.
11.1. Теорема Ферма.
11.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях
§ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
12.1. Неопределенности вида 0/0.
12.2. Неопределенности вида со/со.,.
§ 13. Формула Тейлора.
13.1. Вывод формулы Тейлора.
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки.
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора.
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части).
§ 14. Исследование поведения функций.
14.1. Признак монотонности функции.
14.2. Отыскание наибольших и наименьших значений функций...
14.3. Выпуклость и точки перегиба.
14.4. Асимптоты.
14.5. Построение графиков функций.
§ 15. Вектор-функция.
15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции.
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции.
§ 16. Длина дуги кривой.
16.1. Понятие кривой.
16.2* Параметрически заданные кривые.
16.3. Ориентация кривой. Дуга кривой. Сумма кривых. Неявное задание кривых.
16.4. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции.
16.5. Длина дуги кривой.
16.6. Плоские кривые.
16.7. Физический смысл производной вектор-функции.
§ 17. Кривизна кривой.
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости.
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление.
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость.
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой.
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоской кривой.
Глава вторая Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 18. Множества на плоскости и в пространстве.
18.1. Окрестности точек. Пределы последовательностей точек.
18.2; Различные типы множеств.
18.3. Компакты.
18.4. Многомерные векторные пространства.
§ 19. Предел и непрерывность функций многих переменных.
19.1. Функции многих переменных.
19.2. Предел функции.
19.3. Непрерывность функций.
19.4. Непрерывность композиции непрерывных функций.
19.5. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах.
19.6. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности
684
Оглавление
§ 20. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных.,
20.1. Частные производные и частные дифференциалы.
20.2. Дифференцируемость функций, в точке.
20.3. Дифференцирование сложной функции.
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов...
20.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.
20.6. Градиент функции.
20.7. Производная по направлению.
20.8. Пример исследования функций двух переменных.
§ 21. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
21.1. Частные производные высших порядков.
21.2. Дифференциалы высших порядков,.,.,.,.
Глава третья
Интегральное исчисление функций одной переменной
§ 22. Определение и свойства неопределенного интеграла.,
22.1. Первообразная и неопределенный интеграл.
22.2. Табличные интегралы.
22.3. Интегрирование подстановкой (замена переменной).
22.4. Интегрирование по частям.
§ 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах.
23.1. Комплексные числа.
23.2*. Формальная теория комплексных чисел.
23.3. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел...
23.4. Разложение многочленов на множители.
23.5*. Наибольший общий делитель многочленов.
23.6. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные.
§ 24. Интегрирование рациональных дробей.
24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей.
24.2. Общий случай.
24.3*. Метод Остроградского.
§ 25. Интегрирование некоторых иррациональностей.
25.1. Предварительные замечания.
( г fax-4-b\ri fax-4-b\rsl.„_
25.2. Интегралы вида I R\x, --¦—г)., --—-.) \dx.
J L \cx-\-d) \cx-\-d) J
253. Интегралы вида ^ R (х, Уахг -\-bx-\- с) dx. Подстановки Эйлера
25.4. Интегралы от дифференциального бинома.
СР (х)
25.5. Интегралы вида 1 dx.
JУ ахг-\-Ьх-\-с
§ 26. Интегрирование некоторых трансцендентных функций.,
26.1. Интегралы вида \ R (sin x, cosx) dx,.,
Оглавление
26.2. Интегралы вида ( sinm х cos™ х dx....,.
26.3. Интегралы вида j sin ax cos Р* dx.
26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся
с помощью интегрирования по частям,.
26.5. Интегралы вида ^R (sh x, ch x) dx.
26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции.
§ 27. Определенный интеграл.
27.1. Определение интеграла по Риману.
27.2. Ограниченность интегрируемой функции.
27.3. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний интегралы Дарбу.
27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.
§ 28. Свойства интегрируемых функций.,.
28.1. Свойства определенного интеграла.
28.2. Первая теорема о среднем значении для определенного интеграла.
28.3. Интегрируемость кусочно-непрерывных функций.
28.4*. Интегральные неравенства Гёльдера*' и Минковского**'...
§ 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу.
29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции.
29.3. Формула Ньютона—Лейбница.
§ 30. Формулы замены переменной в интеграле и интегрирования по частям.
30.1. Замена переменной.
30.2. Интегрирование по частям.'.
30.3* Вторая теорема о среднем значении для определенного интеграла.
30.4. Интегралы от вектор-функций.
§ 31. Мера плоских открытых множеств.
31.1. Определение меры (площади) открытых множеств.
31.2. Свойства меры открытых множеств.
§ 32. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла.
32.1. Вычисление площадей.
32.2. Объем тел вращения.
32.3. Вычисление длины кривой
32.4. Площадь поверхности вращения.
32.5. Работа силы.
32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой
§ 33. Несобственные интегралы.
33.1. Определение несобственных интегралов.
33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов
33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций
33.4. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
33.5. Абсолютно сходящиеся интегралы.
33.6. Исследование сходимости интегралов.
§ 34*. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования
Глава четвертая Ряды
§ 35. Числовые ряды.
35.1. Определение ряда и его сходимость.
35.2. Свойства сходящихся рядов.
35.3. Критерий Коши сходимости ряда.
35.4. Ряды с неотрицательными членами.
35.5. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части члена ряда.
35.6. Признаки Даламбера и Коши для рядов с неотрицательными членами.
35.7. Интегральный признак сходимости рядов с неотрицательными членами
35.8*. Неравенства Гёльдера и Минковского для конечных и бесконечных сумм.
35.9. Знакопеременные ряды.
35.10. Абсолютно сходящиеся ряды. Применение абсолютно сходящихся рядов к исследованию сходимости произвольных рядов
35.11. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов.
35.12. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно. Теорема Римана
35.13. Преобразование Абеля. Признаки сходимости рядов Дирихле
и Абеля.
35.14*. Асимптотическое поведение остатков сходящихся рядов и
роста частичных сумм некоторых расходящихся рядов.
35.15.О суммируемости рядов методом средних арифметических
§ 36. Функциональные последовательности и ряды.,.,.
36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
36.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей.,.
36.3. Равномерно сходящиеся функциональные ряды.
36.4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей.
§ 37. Степенные ряды
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда.
7.2*. Формула Коши —Адамара для радиуса сходимости степенного ряда
37.3. Аналитические функции.
37.4. Действительные аналитические функции.
37.5. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного числа формулы Тейлора.
37.6. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
37.7. Разложение в степенные ряды и суммирование их методом почленного дифференцирования и интегрирования,.,.
Оглавление
37.8. Формула Стерлинга..
37.9* Формула и ряд Тейлора для многомерных вектор-функций
37.10*. Асимптотические степенные ряды.
37.11*. Свойства асимптотических степенных рядов.
§ 38*. Кратные ряды.
38.1. Кратные числовые ряды.
38.2. Кратные функциональные ряды.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Абель Н. (Abel N.) Адамар Ж- (Hadamard J.)' Архимед
Б
Бернулли Я. (Bernoulli J.) Больцано Б. (Bolzano В.) . Бонне О. (Bonnet О.) Борель Э. (Borel E.) Безу Э. (Bezout E.)
В
Валлис Дж. (Wallis J.) Вейерштрасс К. (Weierstrass С.)
Г
Гамильтон У. (Hamilton W.) Гейне Г. (Heine E.) Гёльдер О. (Holder О.) Гульдин П. (Goulden P.)
Д
Даламбер Ж- (D'Alambert J.) Дарбу Г. (Darboux G.) Дедекинд P. (Dedekind R.) Декарт P. (Descartes R.) Дини У. (Dini U.) Дирихле Л. (Dichlet Lejeune P. G.) Дю Буа Реймон П. (Du Bois Raymond P.)
Е
Евклид
Ж
Жордан К. (Jordan С.)
К
Кантор Г. (Cantor G.) Коши О. (Cauchy A. L.)
Л
Лагранж Ж- (Lagrange J. L.) Лежандр A. (Legendre A.) Лейбниц (Leibniz v. G. W.) ЛопитальГ (de L'Hospital G.)
М
Маклорен К- (Maclaurin С.) Минковский Г. (Minkowski H.) Муавр A. (Moivre A.)
Н
Ньютон И. (Newton I.)
О
Остроградский МВ
П
Пеано Дж. (Peano J. G.) Пуанкаре A. (Poincars H.)
Р
Риман Б. (Riemann В.) Ролль М. (Rolle M.) РошЭ. (Roche E. А.)
С
Стерлинг Дж. (Stirling J.)
Т
Тейлор Б. (Taylor В.)
Ф
Ферма П. (Fermat P.) Френе Ж- (Frenet J. F.) Френель О. (Fresnel A. J.)
Х
Харди Г. (Hardy G. Н.) .
Ч
Чебышев П. Л.
Ш
Шварц Г. (Schwarz H. А.) Шлемильх О. (Schlomilch О.)
Э
Эйлер Л. (Euler L.)
Предметный указатель
А
Абеля неравенство — преобразование — признак — теорема о сходимости степенного ряда Архимеда свойство действительных чисел Архимеда спираль Асимптота Асимптотическое равенство — разложение — Асимптотический ряд Астроида .
Б
Безу теорема Базис стандартный пространства Бернулли неравенство Биективное отображение (биекция) Больцано—Вейерштрасса теорема Бонне теорема
В
Валлиса формула Вейерштрасса признак равномерной сходимости — теорема Вектор-функция Верхняя (нижняя) грань множества Взаимно-однозначное отображение или соответствие (инъекция) Винтовая линия
Г
Гамильтона символ (набла) Гёльдера неравенство Гейне—Бореля лемма Градиент функции Граница множества График функции Гульдина теорема
Д
Даламбера признак Дарбу интегралы (верхний и нижний) — суммы Двоичная запись чисел Дедекинда принцип — признак Декарта лист Десятичная дробь Десятичное приближение Диаметр множества Дини теорема Дирихле признак — функция Дифференциал функции Дифференциальный бином Длина вектора — кривой Допустимое преобразование параметра Дробь рациональная Дуга кривой Дю Буа Реймона признак е (число)
Е
Евклида алгоритм- Евклидово пространство
Ж
Жордана теорема
З
Замена переменной Замыкание множества
И
Изоморфизм Интеграл абсолютно сходящийся — неопределенный — несобственный — определенный Интегралы табличные — эллиптические Интегральный признак к сходимости рядов Интегрирование подстановкой — по частям Интервал — выпуклости вверх (вниз) — сходимости ряда Инъекция
К
Кантора теорема о несчетности действительных чисел --- о равномерной непрерывности Кардиоида Касательная Колебание функции на множестве Компакт Компактности свойство Композиция функций Контур Координаты полярные Корень из числа — многочлена Коши—Адамара формула — критерий ИЗ — признак — теорема о среднем — форма остаточного члена формулы Тейлора — Шварца неравенство Кратность корня Кривая — гладкая — кусочно-гладкая — ориентированная — параметрически заданная — плоская — спрямляемая Кривизна кривой Кривизны радиус — центр Круг сходимости степенного ряда
Л
Лагранжа теорема — форма остаточного члена в формуле Тейлора — формула Лейбница признак — формула Лемниската Линейность интеграла Логарифмическая спираль Ломаная Лопиталя правило
М
Мажоранта Маклорена формула Максимальный элемент числового множества Минимальный элемент числового множества Минковского неравенство Многочлен (полином) Множество замкнутое — линейно связное — неограниченное — — несчетное — ограниченное — — открытое — пустое — счетное Множества равномощные Модуль действительного числа — комплексного числа — непрерывности Морфизм
Н
Набла (символ Гамильтона) Наибольшее значение функции Наименьшее значение функции Неопределенности Непрерывность действительных чисел Неравенство треугольника Нормаль главная — к кривой Носитель кривой Предметный указатель — точки кривой Ньютона—Лейбница формула
О
Область — выпуклая — замкнутая — определения функции Образ Общий делитель — — наибольший Окрестность точки — — проколотая Окружность соприкасающаяся Остаток ряда Остроградского метод Отображение — взаимно-однозначное (инъекция) — отрезка Отрезок
П
Пара — упорядоченная Пеано аксиомы — форма остаточного члена формулы Тейлора Первообразная Период Площадь (мера) открытого множества — поверхности вращения Подпоследовательность Покрытие множества Поле Поле действительных чисел — комплексных чисел — упорядоченное Полнота действительных чисел Полуинтервал Полукубическая парабола Последовательность — бесконечно большая ---малая — — кратная — монотонная — ограниченная — стремящаяся к бесконечности — сходящаяся — фундаментальная Последовательности одного порядка — эквивалентные Предел вектор-функции — последовательности — функции — Представление кривой Признак сравнения — сходимости ряда интегральный - Принцип вложенных отрезков Произведение множеств — последовательностей — ряда на число Производная — бесконечная — вектор-функции — логарифмическая — обратной функции — параметрически заданной функции — по направлению — сложной функции — функции заданной неявно — частная — — смешанная Промежуток Прообраз Пространство n-мерное
Р
Равномерная непрерывность Радиус сходимости степенного ряда Разбиение отрезка Расстояние Расширенное множество действительных чисел Римана интегральная сумма — теорема о перестановке членов ряда Предметный указатель Ролля теорема Ряд — гармонический — знакопеременный — кратный — Лейбница — степенной — суммируемый — сходящийся ---абсолютно --- равномерно — Тейлора — функциональный
С
Сечение Символ всеобщности — существования Скалярное произведение векторов Скорость вращения вектор-функции Соответствие (отображение) Степень многочлена — числа Стерлинга формула Сужение функции Сумма кривых — (объединение) множеств — последовательностей Сумма ряда --- частичная — — — прямоугольная --- — сферическая --- — треугольная — рядов Суперпозиция функций Сюръекция
Т
Тейлора многочлен — ряд — формула Точка — возрастания (убывания) функции — кривой — — кратная --- неособая — — особая — максимума (минимума) функции — множества внутренняя --- граничная — — изолированная ---предельная — перегиба — прикосновения множества — разрыва функции — устранимого разрыва — экстремума — n-мерного пространства
Ф
Ферма теорема Френе формула Френеля интегралы Функции гиперболические — одного порядка — тригонометрические Функция — аналитическая — бесконечно большая ---малая НО — векторная — возрастающая (убывающая) — выпуклая вверх (вниз) — дифференцируемая — заданная параметрически — интегрируемая — кусочно-непрерывная — кусочно-непрерывно дифференцируемая — логарифмическая — многозначная (однозначная) — непрерывная в точке ---на множестве — непрерывно дифференцируемая — неявная — обратная — ограниченная — периодическая — показательная — — равномерно непрерывная — — стремящаяся к нулю — рациональная — сложная — степенная — строго монотонная — трансцендентная — четная — элементарная
Ц
Цепная линия Циклоида
Ч
Числа действительные (вещественные) — иррациональные — комплексные — натуральные — отрицательные — рациональные — целые Число существенно комплексное Шлемильха—Роша форма остаточного члена
Э
Эволюта кривой Эйлера подстановки — постоянная — формулы Эквивалентность отображений отрезка — функций Экстремум — Эллипс
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
