|
Кудрявцев Л. Д. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, Т. 1.
| | Учебник предназначен для вузов с повышенной математической подготовкой. Его задачей является не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащихся к чтению современной математической литературы. Особое внимание обращено на изложение аналитических методов, вместе о тем в книге нашли свое отражение и некоторые геометрические вопросы теории функций.
В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисление функций одного переменного, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов. Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.
Оглавление
Стр.
Глава первая.
Дифференциальное исчисление функций
одного переменного
§ 1. Вещественные числа
1.1. Свойства вещественных чисел
1.2. Обозначения
§ 2. Верхние и нижние грани множеств
2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств
2.2. Сечения в множестве вещественных чисел
§ 3. Предел последовательности
3.1. Определение предела последовательности и некоторые его свойства
3.2. Пределы монотонных последовательностей
3.3. Теорема Больцано—Вейерштрасса и критерий Коши
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
3.5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями
3.6. Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями
3.7. Счетность рациональных чисел. Несчетность вещественных чисел
3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей
§ 4. Функции и их пределы
4.1. Понятие функции
4.2. Способы задания функции
4.3. Элементарные функции и их классификация
4.4. Первое определение предела функции
4.5. Второе определение предела функции
4.6. Свойства пределов функций
4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
4.8. Пределы монотонных функций
4.9. Критерий Коши существования предела функции
§ 5. Непрерывность функции в точке
5.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции
5.2. Свойство функций, непрерывных в точке
§ 6. Свойства функций, непрерывных на промежутках
6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений
6.2. Промежуточные значения непрерывной функции
6.3. Обратные функции
§ 7. Непрерывность элементарных
функций
7.1. Многочлены и рациональные
7.2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции
§ 8. Сравнение функций. Вычисление пределов
8.1. Некоторые замечательные пределы
8.2. Сравнение функций
8.3. Эквивалентные функции
8.4. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов
§ 9. Производная и дифференциал
9.1. Определение производной
9.2. Дифференциал функции
9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала
9 4. Физический смысл производной и дифференциала
9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
9.6. Производная обратной функции
9.7. Производная и дифференциал сложной функции
9.8. Гиперболические функции и их производные
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков
10.1. Производные высших порядков
10.2. Свойства производных высших порядков. ...
10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций
и от функций, заданных параметрически.
10.4. Дифференциалы высших порядков.
§11, Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
11.1. Теорема Ферма
11.2. Теоремы Ролпя, Лагранжаи Коши о средних значениях
§ 12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
12.1. Неопределенности вида 1
12.2. Неопределенности вида 2
§ 13. Формула Тейлора
13.1. Вывод формулы Тейлора
13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки
13.3. Примеры разложения по формуле Тейлора
13.4. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод выделения главной части
§ 14. Исследование поведения функции
14.1. Критерий монотонности функции
14.2. Экстремумы функций. Определение наибольших и наименьших значений функций
14.3. Выпуклость и точки перегиба
14.4. Асимптоты
14.5. Построение графиков функций § 15. Вектор-функция
15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции.
§ 16. Длина дуги кривой
16.1. Понятие кривой
16.2. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции
16.3. Длина дуги кривой и дифференциал 224 длины дуги
16.4. Плоские кривые
16.5. Физический смысл производной вектор-функции
§ 17. Кривизна кривой
17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие
17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление
17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость
17.4. Центр кривизны и эволюта кривой
17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых
Глава вторая. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
§ 18. Множества на плоскости и в
пространстве
18.1. Окрестности и пределы последовательностей точек
18.2. Различные типы множеств
§ 19. Предел и непрерывность функций многих переменных
19.1. Предел функции
19.2. Непрерывность функций
19.3. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций
19.4. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах
19.5. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности
§ 20. Частные производные.
Дифференцируемость функций многих переменных
20.1. Частные производные и частные дифференциалы
20.2. Дифференцируемость функции в точке
20.3. Дифференцирование сложной функции
20.4. Инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных, Правила вычисления дифференциалов
20.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала
20.6. Производная по направлению
§21. Частные производные и дифференциалы высших порядков
21.1. Частные производные высших порядков
21.2. Дифференциалы высших порядков
Глава третья. Интегральное исчисление функций одного переменного
§ 22. Определение и свойства неопределенного интеграла
22.1. Первообразная и неопределенный интеграл
22.2. Табличные интегралы
22.3. Интегрирование подстановкой
22.4. Интегрирование по частям
§ 23. Некоторые сведения о комплексных числах и многочленах
23.1. Комплексные числа
23.2. Некоторые понятия анализав области комплексных чисел
23.3. Разложение многочленов на множители
23.4. Общий наибольший делитель многочленов.
23.5. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные
§ 24. Интегрирование рациональных дробей
24.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей
24.2. Общий случай
24.3. Метод Остроградского
§ 25. Интегрирование некоторых иррациональностей
25.1. Интегралы вида 1Интегралы вида 2 Подстановка Эйлера
25.3. Интегралы от дифференциального бинома
25.4. Интегралы вида 3
§ 26. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций
26.1. Интегралы вида j R(sin x, cos x)dx
26.2. Интегралы вида J sin" xcosm xdx
26.3. Интегралы вида jsincacospxiit, jsincasmpxiit, j cos ax cos fixdx
26.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям
26.5. Интегралы вида I R(shx,chx)dx
26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции
§ 27. Определенный интеграл
27.1. Определение интеграла по Риману
27.2. Ограниченность интегрируемой
27.3. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу Верхний и нижний интегралы Дарбу
27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости
27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций...
§ 29. Свойства интегрируемых функций
28.1. Свойства определенного интеграла
28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла.
28.3. Интегрируемость кусочио-непрерывных функций
§ 29. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
29.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу.
29.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Существование первообразной у непрерывной функции
29.3. Формула Ньютона—Лейбница
§ 30. Методы вычисления определенного интеграла
30.1. Замена переменного
30.2. Интегрирование по частям
§31. Мера плоских открытых множеств
31.1. Определение меры (площади) открытых множеств
31.2. Монотонность меры открытых множеств
§ 32. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла
32.1. Вычисление площадей
32.2. Объем тел вращения
32.3. Вычисление длины кривой
32.4. Площадь поверхности вращения
32.5. Работа силы
32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой
§ 33. Интегралы от неограниченных
33.1. Определение интеграла от неограниченной функции
33.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов на конечном промежутке
33.3. Несобственные интегралы от неотрицательных на конечном промежутке функций
33.4. Критерий Коши. Абсолютно
сходящиеся несобственные интегралы на
конечном промежутке
§ 34, Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
34.1. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами.
34.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов
34.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций
34.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы с бесконечными пределами. Метод улучшения сходимости интегралов
Глава четвертая. Ряды
§ 35. Числовые ряды
35.1. Определение ряда и его сходимость
35.2. Свойства сходящихся рядов
35.3. Критерии сходимости рядов
35.4. Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части n-го члена ряда
35.5. Знакопеременные ряды
35.6. Абсолютно сходящиеся ряды. Использование абсолютно сходящихся рядов для исследования сходимости произвольных рядов
35.7. Сходящиеся ряды, не сходящиеся
абсолютно. Признак Дирихле
§ 36. Функциональные последовательности и ряды.
36.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов
36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей
§ 37. Степенные ряды
37.1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши—Адамара
37.2. Аналитические функции
37.3. Вещественные аналитические
37.4. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора
37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
37.6. Разложение в степенные ряды и суммирование степенных рядов методом почленного дифференцирования и интегрирования
§ 38. Кратные ряды
38.1. Кратные числовые ряды
38.2. Кратные функциональные ряды Алфавитный указатель
Математические методы исследования всегда играли и играют огромную роль в естествознании. Математика неустанно продолжает развиваться и находит все новые и новые области своего применения. Задачи практики в свою очередь приводят к созданию новых направлений математики и ее приложений. Развитие математики в целом определяет уровень ее приложений и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники.
Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы реального мира. Точиость математики означает, что методом исследования в математике являются строгие логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются логические модели, построенные для описания и исследования того или иного явления.В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать свойства очень далеких друг от друга по своему физическому содержанию реальных процессов. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними соотношения.С абстрактностью математики связана, с одной стороны, определенная трудность ее усвоения, а с другой—ее сила, универсализм и общность.
В последнее время, благодаря появлению быстродействующих вычислительных машин, произошел большой качественный скачок в использовании математических методов, которые стали применяться не только в тех областях, где математика использовалась уже давно (например, в механике, физике), но и в тех областях человеческого знания, где математика еще совсем недавно либо применялась мало, либо ее применение даже не представлялось возможным (медицина, экономика, лингвистика, социология и т. п.). Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
