|
Б.Гелбаум, Дж.Олмстед. Контрпримеры в анализе
| | Оглавление
От редактора.
Предисловие.
Глава 1. Система действительных чисел.
Введение .
1. Бесконечное поле, которое нельзя упорядочить.
2. Поле, которое можно упорядочить двумя различными способами.
3. Неполное упорядоченное поле.
4. Упорядоченное неархимедово поле.
5. Упорядоченное поле, которое нельзя пополнить.
6. Упорядоченное поле, в котором множество рациональных чисел не плотно.
7. Неполное упорядоченное поле, полное в смысле Коши .
8. Область целостности, допускающая различные факторизации
9. Два числа без наибольшего общего делителя .
10. Дробь, не допускающая единственного представления в виде несократимой дроби.
11. Функции, непрерывные на замкнутом интервале и не обладающие известными свойствами, если система чисел не полна
Глава 2. Функции и пределы.
Введение.
1. Всюду разрывная функция, абсолютное значение которой есть всюду непрерывная функция.
2. Функция, непрерывная лишь в одной точке (см. пример 22)
3. Непрерывная и неограниченная функция, определенная на произвольном некомпактном множестве.
4. Неограниченная функция, определенная на произвольном некомпактном множестве и локально ограниченная на нем
5. Функция, всюду конечная и всюду локально неограниченная
6. Непрерывная ограниченная функция, определенная на произвольном некомпактном множестве и не имеющая экстремальных значений.
7. Ограниченная функция, не имеющая относительных экстремумов на компактном множестве.
Оглавление
8. Ограниченная функция, не являющаяся полунепрерывной ни
в одной точке. .
9. Периодическая функция, отличная от постоянной и не имеющая наименьшего периода.
10. Иррациональные функции.
11. Трансцендентные функции.
12. Функции, композиция которых y=l(g{x)) всюду непрерывна и такова, что
всюду непрерывна
13. Две равномерно непрерывные функции, произведение которых не является равномерно непрерывной функцией
14. Непрерывное на некотором интервале взаимно однозначное отображение, обратное к которому разрывно.
15. Функция, непрерывная в иррациональных и разрывная в рациональных точках . . .
16. Полунепрерывная функция с плотным множеством точек разрыва.
17. Функция с плотным множеством точек разрыва, каждая из которых устранима.
18. Монотонная функция, точки разрыва которой образуют произвольное счетное (возможно, плотное) множество .
19. Функция с плотным множеством точек непрерывности и плотным множеством точек разрыва, ни одна из которых
не является устранимой.
20. Нигде не монотонное взаимно однозначное соответствие между двумя интервалами.
21. Непрерывная нигде ие монотонная функция.
22. Функция, точки разрыва которой образуют произвольно заданное замкнутое множество.
23. Функция, точки разрыва которой образуют произвольно заданное множество типа F а (см. пример 8 гл. 4 и примеры
8, 10 и 22 гл. 8).
24. Функция, не являющаяся пределом последовательности непрерывных функций (см. пример 10 гл. 4) .
25. Функция, определенная на [0,1], множество значений которой на каждом невырожденном подинтервале совпадает
с [0,1] (см. пример 27 гл. 8).
26. Разрывная линейная функция.
27. Теорема Колмогорова: для каждого n?N существуют и (2и+1) функций q>jj(j*) (/=1, 2, ., п, /=1,2, ., 2п+1), таких, что
(a) все функции <рц(Х}) непрерывны на [0,1];
(b) для любой функции f(xi, x2, . , х„), непрерывной на 0-СлГ], хг, . , дгп^1, существуют 2п + 1 функций ф,-,
1 = 1, 2, . , 2/г+1, каждая из которых непрерывна на R, причем
Глава 3. Дифференцирование.
Введение.
1. Функция, не являющаяся производной.
2. Дифференцируемая функция с разрывной производной . .
3. Разрывная функция, имеющая всюду производную (не обязательно конечную).
4. Дифференцируемая функция, производная которой не сохраняет знака ни в какой односторонней окрестности экстремальной точки .
5. Дифференцируемая функция, производная которой положительна в некоторой точке, но сама функция не монотонна
ни в какой окрестности этой точки.
6. Функция, производная которой конечна, но не ограничена
на замкнутом интервале.
7. Функция, производная которой существует и ограничена, но
не имеет (абсолютного) экстремума на замкнутом интервале
8. Всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция
9. Дифференцируемая функция, для которой теорема о среднем не имеет места. .
10. Бесконечно дифференцируемая функция f(x), положительная при положительных х и равная нулю при отрицательных х . .
11. Бесконечно дифференцируемая функция, положительная в единичном интервале и равная нулю вне его.
12. Бесконечно дифференцируемая функция, равная на [1,+оо), равная 0 на (— со,0] и строго монотонная на
[0, 1].
13. Бесконечно дифференцируемая монотонная функция /, такая, что Mm / (х) = 0, lira f (х) ф 0.
Глава 4. Интеграл Римана.
Введение.
1. Ограниченная функция, не интегрируемая по Риману на конечном замкнутом интервале.
2. Функция, интегрируемая по Риману и не имеющая примитивной. .
3. Функция, интегрируемая по Риману и не имеющая примитивной ни на каком интервале.
4. Функция, имеющая примитивную на замкнутом интервале, но не интегрируемая на нем по Риману (см. пример 35
гл. 8)
5. Интегрируемая по Риману функция со всюду плотным множеством точек разрыва. .
х
6. Функция f, для которой g (х) = \ f (t) dt всюду дифферен-
о цируема, однако ё'{х)ф\(х) на всюду плотном множестве
7. Две различные полунепрерывные функции, „расстояние" между которыми равно нулю.
8. Интегрируемая по Риману функция, множество точек разрыва которой совпадает с произвольно заданным множеством типа Fa и меры нуль (см. пример 22 гл. 8).
9. Две функции, интегрируемые по Риману, композиция которых не интегрируема по Риману (см. пример 34 гл. 8) .
10. Не интегрируемая по Риману ограниченная функция, являющаяся пределом возрастающей последовательности интегрируемых по Риману функций (см. пример 33 гл. 8) .
11. Расходящийся несобственный интеграл, имеющий конечное главное значение в смысле Коши.
12. Сходящийся несобственный интеграл f (x) dx, подинтегральная функция которого положительна, непрерывна и не стремится к нулю при х -> -f- со.
13. Сходящийся на интервале [0,+оо) несобственный интеграл, подинтегральная функция которого не ограничена на любом интервале вида [а, +оо), где а>0.
14. Функции fug, такие, что интеграл Римана—Стильтьеса от / относительно g существует на [а, Ь] и [Ь, с], но не существует на [а, с].
Глава 5. Последовательности.
Введение.
1. Ограниченные расходящиеся последовательности .
2. Последовательность с произвольно заданным замкнутым множеством предельных точек.64
3. Расходящаяся последовательность {ап}, для которой
lim (Яп+р — ап) = 0 ПРИ любом натуральном р. . . .
л->+сю
4. Расходящаяся последовательность {йп}, такая, что для заданной строго возрастающей последовательности {ср„}= ={ф(п)} натуральных чисел lim (а^ ^—ап) = 0 .
/?->¦-!-со
5. Последовательности {о„} и {&„}, такие, что lim an -f-Um Ъп < <\jm(an+bn) <Ита„-|-пп7Ьп <Йт (ап + Ьп) <Шап-\-ШЬп 67
6. Последовательности {ain}, {#2n}, . , такие, что
Йт (aln + a2n+ .) <Ш аш+Ш а2л+.
л->+со л->+со л->+ьо
7. Две равномерно сходящиеся последовательности функций, последовательность произведений которых не сходится равномерно
8. Расходящаяся последовательность множеств.
9. Последовательность {Ап} множеств, которая сходится к пустому множеству, но кардинальные числа этих множеств -> + со.
Глава 6. Бесконечные ряды
Введение.
1. Расходящийся ряд, общий член которого стремится к нулю
2. Сходящийся ряд 2 ап и расходящийся ряд 2 ^п< такие,
что ап>Ьп, «=1, 2,.
3. Сходящийся ряд 2а" и расходящийся ряды, такие, что .
4. Для произвольно заданного положительного ряда существует либо мажорируемый им расходящийся, либо мажорирующий его сходящийся ряд.
5. Об условно сходящихся рядах.
6. Для произвольного условно сходящегося ряда ап и произвольного действительного числа х существует последовательность {е„}, где |е„|=1 (и=1, 2, .), такая, что.
7. Об условиях теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов
8. Расходящийся ряд с общим членом, стремящимся к нулю, который при подходящей расстановке скобок становится сходящимся к наперед заданной сумме.
9. Для произвольно заданной положительной последовательности \bn) с нижним пределом, равным нулю, существует расходящийся ряд 2 ап< общий член которого стремится
к нулю, причем lim an/bn = О.
10. Для всякой положительной последовательности {&„} с нижним пределом, равным нулю, существует положительный сходящийся ряд ^ ап< такой, что lim an/bn — -\-co. .
11. Для всякой положительной последовательности {с} с нижним пределом, равным нулю, существуют положительный сходящийся ряд 2 ап и положительный расходящийся ряд
2 Ьп, такие, что anlbn—cn, и=1, 2,.
12. Положительная непрерывная при х>1 функция, такая,
что интеграл f (x) dx сходится, а ряд / (п) Расходится
13. Положительная непрерывная при х~^ 1 функция, такая, что
интеграл f (x) dx расходится, а ряд 2j f (n) сходится
14. Ряды, к которым не применим признак Даламбера .
15. Ряды, к которым не применим признак Коши.
16. Ряды, для которых эффективен признак Коши и не эффективен признак Даламбера.
17. Два сходящихся ряда, произведение которых расходится
18. Два расходящихся ряда, произведение которых сходится абсолютно.
19. Для произвольной последовательности < 2 атп \. п—1, 2.
положительных сходящихся рядов существует положительный сходящийся ряд 2 ат< не сравнимый ни с одним из рядов < 2л атп
20. Матрица ТеплицаТ и расходящаяся последовательность, преобразуемая матрицейТ в сходящуюся последовательность
21. Для всякой матрицы Теплнца Г= (tij) существует последовательность {«;}, каждый член которой есть либо 1, либо— 1, такая, что преобразование {bt} последовательности {а,} посредством матрицыТ расходится.
22. Степенной ряд, сходящийся лишь в одной точке (см. пример 24) .
23. Функция, ряд Маклорена которой сходится всюду, однако представляет функцию лишь в одной точке.
24. Функция, ряд Маклорена которой сходится лишь в одной точке .
25. Сходящийся тригонометрический ряд, не являющийся рядом Фурье .
26. Бесконечно дифференцируемая функция 1(х), не являющаяся преобразованием Фурье никакой функции, интегрируемой
по Лебегу, и такая, что Игл / (х) = 0.
27. Для произвольного счетного множестваЕ с: [—я, я) существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в каждой точке х f E и сходится в каждой точке х?[—я, я)\
28. Функция, интегрируемая (по Лебегу) на [—я, я], ряд Фурье которой расходится всюду.
29. Последовательность {а„} рациональных чисел, обладающая тем свойством, что для всякой функции f, непрерывной на [0,1] и равной 0 при х — 0 (/(0)=0), существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел {rav}
о = О), такая, что .причем сходимость является равномерной на [0,1] .
Глава 7. Равномерная сходимость.
Введение.
1. Последовательность всюду разрывных функций, сходящаяся равномерно к всюду непрерывной функции.
2. Последовательность бесконечно дифференцируемых функций, которая равномерно сходится к нулю, а последовательность производных этих функций всюду расходится.
3. Неограниченная функция, являющаяся пределом неравномерно сходящейся последовательности ограниченных функций
4. Разрывная функция, являющаяся пределом последовательности непрерывных функций .
5. Не интегрируемая по Риману функция, являющаяся пределом последовательности функций, интегрируемых по Риману (см. пример 33 гл. 8)
6. Последовательность функций, Для которой предел интегралов не равен интегралу от предельной функции
7. Последовательность функций, для которой предел производных не равен производной от предельной функции
8. Последовательность функций, равномерно сходящаяся на каждом замкнутом подинтервале, но не сходящаяся равномерно на всем интервале.
9. Последовательность {/„}, равномерно сходящаяся к нулю
на интервале [0, + оо) и такая, что fn(x) dx-/*0 . . .
10. Неравномерно сходящийся ряд, общий член которого стремится к нулю равномерно.
11. Неравномерно сходящаяся последовательность, обладающая равномерно сходящейся подпоследовательностью
12. Неравномерно сходящиеся последовательности, удовлетворяющие любым трем из четырех условий теоремы Динн .
Глава 8. Множества и мера на действительной оси.
Введение
1. Совершенное нигде не плотное множество.
2. Несчетное множество меры нуль.
3. Множество меры нуль, разностное множество которого содержит некоторую окрестность нуля.
4. Совершенное нигде не плотное множество положительной меры.
5. Совершенное нигде не плотное множество иррациональных чисел .
6. Всюду плотное открытое множество, дополнение которого
имеет положительную меру
-7, Множество второй категории
8. Множество, не являющееся множеством типа Fg .
9. Множество, не являющееся множеством типа Gs
10. Множество А, не являющееся множеством точек разрыва никакой функции.
11. Неизмеримое множество
12. Множество D, такое, что для всякого измеримого множестваА справедливы равенства
13. МножествоА меры нуль, для которого любое действительное число является его точкой конденсации
14. Нигде не плотное множествоА действительных чисел и его непрерывное отображение на замкнутый единичный интер-вал [0, 1]
15. Непрерывная монотонная функция, производная которой равна нулю почти всюду
16. Топологическое отображение замкнутого интервала, не сохраняющее измеримость и нулевую меру
17. Измеримое неборелевское множество
18. Две непрерывные функции, разность которых не является постоянной, но их производные (конечные или бесконечные) совпадают всюду
19. Множество полной меры и первой категории на [0, 1]
20. Множество меры нуль и второй категории на [0, 1]
21. Множество меры нуль, не являющееся множеством типа Fg
22. Множество меры нуль, такое, что не существует функции (интегрируемой по Риману или нет), для которой это множество является множеством точек разрыва
23. Два совершенных нигде не плотных гомеоморфных множества на [0,1], лишь одно из которых имеет меру нуль
24. Два непересекающихся непустых нигде не плотных множества действительных чисел, таких, что каждая точка любого из них является предельной точкой другого
25. Два гомеоморфных множества действительных чисел, являющихся множествами разных категорий
26. Два гомеоморфных множества действительных чисел, таких, что одно из них всюду плотно, а другое нигде не плотно
27. Функция, определенная на R, равная нулю почти всюду и такая, что множество ее значений на каждом непустом открытом интервале совпадает с R.
28. Функция, определенная на R, график которой всюду плотен на плоскости
29. Неотрицательная всюду конечная функция f, такая, что для любого непустого открытого интервала.
30. Непрерывная строго монотонная функция с производной, равной нулю почти всюду
31. Ограниченная полунепрерывная функция, не интегрируемая по Риману и не эквивалентная никакой функции, интегрируемой по Риману
32. Ограниченная измеримая функция, не эквивалентная никакой функции, интегрируемой по Риману
33. Ограниченная функция, являющаяся пределом монотонной последовательности непрерывных функций, не интегрируемая по Риману и не эквивалентная никакой функции, интегрируемой по Рнману (см. пример 10 гл. 4).
34. Интегрируемая по Рнману функция { и непрерывная функция g, определенные на [0, 1] и такие, что их композиция f(g(x)) не интегрируема по Риману на [0, 1] и не эквивалентна никакой функции, интегрируемой по Риману на этом замкнутом интервале (см. пример 9 гл. 4).
35. Ограниченная функция, имеющая примитивную на замкнутом интервале, но не интегрируемая на нем по Риману
36. Функция, для которой существует несобственный интеграл Римана и не существует интеграл Лебега.
37. Функция, измеримая по Лебегу и не измеримая по Борелю
38. Измеримая функция f(x) и непрерывная функция g(x), такие, что их композиция f(g(x)) неизмерима.
39. Непрерывная монотонная функция g(x) и непрерывная функция f(x), такие, что
40. Различные виды сходимости функциональных последовательностей
41. Две меры ц и v на пространстве с мерой (X, ©), такие, что (х абсолютно непрерывна относительно v, однако не существует функции , удовлетворяющей равенству
Глава 9. Функции двух переменных
Введение.
1. Разрывная функция двух переменных, непрерывная по каждой переменной в отдельности.
2. Функция двух переменных, не имеющая предела в начале координат, но имеющая равный нулю предел при приближении к началу координат по любой прямой.
3. Обобщение предыдущего примера.
4. Разрывная (и, следовательно, недифференцируемая) функция двух переменных, имеющая всюду частные производные первого порядка
5. Функции /, для которых существуют и равны лишь два из следующих пределов:
lim f(x, у), lim lira f (x, у), lim Mm f (x, y). . . (x, y)->(a, b) x->a y->b y->b x->a
6. Функции /, для которых существует лишь один из следующих пределов:
lim f (х, у), lim lim / (х, у), lim lim f (x, у) . .(х, у)->(а, b) x-±a y-*b y->b х^а
7. Функция f, для которой пределы lim lim f(x, у) и
х->а у->Ь
lim lim f (x, у) существуют, но не равны между собой у-*ь х->а
8. Функция f(x, у), для которой предел lim / (х, y) = g(x)
существует равномерно относительно х, предел lim f(x, у) = = h (у) существует равномерно относительно у, lim g (x)
— lim h (у), однако предел lim / (x, у) не существует
9. Дифференцируемая, но не непрерывно дифференцируемая функция двух переменных.
10. Дифференцируемая функция, имеющая неравные смешанные частные производные второго порядка.
11. Непрерывно дифференцируемая функция / двух переменных х и у и область R на плоскости, такие, что df/dy—O в области R, но функция f зависит от у в эгой области
12. Локально однородная непрерывно дифференцируемая функция двух переменных, не являющаяся однородной
13. Дифференцируемая функция двух переменных, не имеющая экстремума в начале координат и такая, что ее сужение на любую прямую, проходящую через начало координат, имеет строгий локальный минимум в этой точке.
14. Обобщение предыдущего примера.
15. Функция для которой ^- J f (х, у) dy ф j L^ {(х, у)\ dy,
хотя оба интеграла существуют в смысле Римана
16. Функция , для которой
11 хотя оба интеграла существуют в смысле Римана .
17. Двойной ряд ^ атп- для которого 2 2 атп =^22 а™
18. Дифференциал Pdx+Qdy и плоская область R, в которой Pdx+Qdy является локально полным, но не полным дифференциалом
19. Соленоидальное векторное поле, заданное в односвязной области и не имеющее векторного потенциала.
Глава 10. Множества на плоскости
Введение.
1. Два непересекающихся замкнутых множества, расстояние между которыми равно нулю.
2. Ограниченное множество на плоскости, для которого не существует минимального замкнутого круга, содержащего это множество.
3. „Тонкие" связные множества, не являющиеся простыми дугами
4. Два непересекающихся плоских контура, содержащихся в квадрате и соединяющих его противоположные вершины
5. Отображение интервала [0, 1] на квадрат [0, 1]Х[0, 1]
6. Кривая Пеано на плоскости
7. Кривая Пеано, стационарная почти всюду
8. Кривая Пеано, дифференцируемая почти всюду
9. Непрерывное отображение интервала [0, 1] на себя, принимающее каждое значение несчетное множество раз
10. Простая дуга, расположенная в единичном квадрате и имеющая плоскую меру, сколь угодно близкую к единице
11. Связное компактное множество, не являющееся дугой
12. Плоская область, не совпадающая с ядром своего замыкания
13. Три непересекающиеся плоские области с общей границей
14. Нежорданова область, совпадающая с ядром своего замыкания
15. Ограниченная плоская область, граница которой имеет положительную меру.
16. Простая дуга бесконечной длины.
17. Простая дуга бесконечной длины, имеющая касательную в каждой точке .
18. Простая дуга, такая, что ее длина между любой парой точек бесконечна.
19. Гладкая кривая С, содержащая точку Р, которая не является ближайшей точкой этой кривой ни для какой точки выпуклой области, ограниченной этой кривой
20. ПодмножествоА единичного квадрата S=[0, l]X[0, 1], плотное в S н такое, что всякая вертикальная или горизонтальная прямая, пересекающая S, имеет сА лишь одну общую точку.
21. Неизмеримое плоское множество, имеющее с каждой прямой не более двух общих точек
22. Неотрицательная функция f(x, у), такая, что интеграл f [ f (x, y) dx dy.rpsi 8 = [0,1]х[вг1], не существует
23. Действительнозначная функция одного действительного переменного, график которой является неизмеримым плоским множеством.
24. Связное множество, которое становится вполне несвязным при удалении одной точки
Глава 11. Площадь
Введение
1. Ограниченное плоское множество, не имеющее площади
2. Компактное плоское множество, не имеющее площади
3. Ограниченная плоская область, не имеющая площади
4. Ограниченная плоская жорданова область, не имеющая площади
5. Простая замкнутая кривая, плоская мера которой больше плоской меры области, ограниченной этой кривой
6. Две функции ф и \|), заданные на [0, 1] и такие, что (а) <р(х)<ф(х) для х ? [0,1],
(b) bi>(x) — о (с) S={(x, 7. Пример Шварца, в котором боковой поверхности прямого кругового цилиндра сопоставляется сколь угодно большая конечная или даже бесконечная площадь
8. Для любых двух положительных чисел 8 иМ в трехмерном пространстве существует поверхность 5, такая, что
(a) S гомеоморфна поверхности сферы;
(b) площадь поверхности S существует и меньше е;
(c) мера Лебега в трехмерном пространстве поверхности S существует и большеМ
9. Плоское множество сколь угодно малой плоской меры, внутри которого направление отрезка единичной длины можно поменять на обратное непрерывным движением.
Глава 12. Метрические и топологические пространства
Введение
1. Убывающая последовательность непустых замкнутых ограниченных множеств с пустым пересечением.
2. Неполное метрическое пространство с дискретной топологией
3. Убывающая последовательность непустых замкнутых шаров
с пустым пересечением в полном метрическом пространстве
4. Открытый шарО и замкнутый шар В_с общим центром
и равными радиусами, такие, что ВФО . .
5. Замкнутые шары Si и В2 с радиусами гх и г2 соответственно, такие, что б] сВ2, а г,>г2.¦ ¦
6. Топологическое пространство X и его подмножество Y, такие, что множество предельных точекУ не замкнуто
7. Топологическое пространство, в котором предел последовательности не единствен
8. Сепарабельное пространство, обладающее несепарабельным подпространством.
9. Сепарабельное пространство, не удовлетворяющее второй аксиоме счетности.
10. Множество с различными топологиями, имеющими одни и
те же сходящиеся последовательности.
11. Пример топологического пространства X, множества AczX и предельной точки этого множества, не являющейся пределом никакой последовательности точек изЛ
12. Неметрнзуемое топологическое пространство X с функциями в качестве точек и топологией, соответствующей поточечной сходимости.
13. Непрерывное отображение одного топологического пространства на другое, не являющееся ни открытым, ни замкнутым
14. Отображение одного топологического пространства на другое, являющееся одновременно открытым и замкнутым, но
не являющееся непрерывным.
15. Замкнутое отображение одного топологического пространства на другое, не являющееся ни непрерывным, ни открытым . .
16. Отображение одного топологического пространства на другое, являющееся непрерывным и открытым, но не являющееся замкнутым
17. Открытое отображение одного топоюгического пространства
на другое, не являющееся ни непрерывным, ни замкнутым
18. Непрерывное замкнутое отображение одного топологического пространства на другое, не являющееся открытым
19. Топологическое пространство X и его подпространство Y, содержащее два непересекающихся открытых множества, которые не являются пересечением подпространства Y с непересекающимися открытыми множествами пространства X
20. Два негомеоморфных топологических пространства, каждое из которых является непрерывным взаимно однозначным образом другого.
21. Разбиение трехмерного евклидова шараВ на пять непересекающихся подмножеств S\, S2, S3, S4, S5 (при этом S5 состоит из единственной точки), таких, что при жестких движениях Rlt /?2, Rz, R4, Rs справедливы следующие соотношения:
BszRl(Sl)UR2(S2)s*Ra(S3)URt(Si)URs(Ss)
22. Для любых двух евклидовых шаров Ве и Вы, радиусы которых суть произвольно заданные числа е>0 и /И>0, всегда существует разбиение шара Ве на конечное число непересекающихся подмножеств S\, S2, ., Sn, таких, что при жестких движениях R\, Ri, ., Rn справедливо равенство
S2)U.U/?e(Sn)
Глава 13. Функциональные пространства.
Введение
1. Две монотонные функции, сумма которых не монотонна
2. Две периодические функции, сумма которых не имеет периода
3. Две полунепрерывные функции, сумма которых не является полунепрерывной.
4. Две функции, квадраты которых интегрируемы по Риману,
но квадрат их суммы не интегрируем по Риману
5. Две функции, квадраты которых интегрируемы по Лебегу,
но квадрат их суммы не интегрируем по Лебегу
6. Линейное функциональное пространство, не являющееся ни алгеброй, ни структурой
7. Линейное функциональное пространство, являющееся алгеброй, но не являющееся структурой
8. Линейное функциональное пространство, являющееся структурой, но не являющееся алгеброй
9. Две метрики в пространстве С([0, 1]) функций, непрерывных на [0, 1], такие, что дополнение единичного шара в одной
из метрик всюду плотно в единичном шаре другой метрики
Библиография
Указатель обозначений
Предметный указатель
А
АбельН X Абсолютное значение Аксиома выбора — счетности вторая Алгебра АлександровПС Архимеда аксиома
Б
Базис Гамеля — топологии БанахС БезиковичАС Бесселя неравенство Борелевское множество Бореля мера ПО БэрР Бэра теорема о категориях
В
Ван дер ВарденБЛ Вейерштрасс КВТ Векторный потенциал ВольтерраВ Вычитание
Г
ГельвинФ ГильбертД Главное значение в смысле Ко- ши Граница множества Грань верхняя — нижняя — точная верхняя ---нижняя Группа абелева — коммутативная — мультипликативная — топологическая
Д
Движение жесткое Двоичная дробь Декартово произведение Деление Делитель — наибольший общий Диаметр множества Дивергенция векторного поля Дифференциал — локально полный — полный Дополнение множества
Е
Евклидова плоскость Единица
З
Закон ассоциативности — двойственности де Моргана — дистрибутивности — коммутативности — сокращения Замыкание Значение функции
И
Изоморфизм Интеграл Лебега — Лебега — Стильтьеса — Римана Интервал бесконечный — замкнутый — конечный — открытый — — и замкнутый — полузамкнутый — полуоткрытый
К
КакеяС КанторГ Квантор общности — существования Указатель Класс замкнутый относительно сдвигов — эквивалентности КолмогоровАН Кольцо Композиция функций Контур плоский Координата пары вторая — — первая Кривая замкнутая — Пеано — спрямляемая Круг замкнутый — минимальный — открытый
Л
ЛебегА Ломаная вписанная в дугу Люксембург ВА Дж МазуркевичС
М
Матрица бесконечная — Теплица Мера — абсолютно непрерывная — Бореля ПО — внешняя — внутренняя — Лебега ПО — полная Метрика — ограниченная Множество борелевское ' — вполне несвязное — всюду плотное — второй категории — выпуклое — замкнутое — значений функции — измеримое по Лебегу ПО — индуктивное — канторово — — положительной меры — компактное — локально связное — меры нуль — неизмеримое — непустое — нигде не плотное — открытое — первой категории Множество плоское — полной меры — положительной меры — пустое — связное — совершенное — счетное — типа Fa — типа Од
Н
Неравенство Бесселя — треугольника Норма Нуль Нуль-множество ПО
О
Область — жорданова — значений функции — нежорданова — односвязная — определения функции — целостности поля Оболочка выпуклая Объединение множеств Окрестность точки --- проколотая --- сферическая Операция бинарная ОсгудУФ Основная теорема индукции --- интегрального исчисления Отображение — взаимно однозначное — замкнутое — непрерывное — открытое — топологическое
П
Параметризация Параметризующие функции ПасторР Пеано Дж Пересечение множеств Площадь — внешняя — внутренняя — поверхности Покрытие открытое Указатель Поле архимедово — векторное --- соленоидальное — полное — — в смысле Коши --- упорядоченное Полином Полное продолжение меры Бореля Последовательность Коши — расходящаяся — сходящаяся — фундаментальная Предел бесконечный — верхний — нижний — функции ---множеств — последовательности ---частичный Преобразование Фурье Признак Даламбера — Вейерштрасса — Коши Примитивная Принцип Кавальери — максимального элемента Продолжение функции Проекция пары — вторая — первая Произведение декартово — рядов по Коши — скалярное Производная Пространство банахово — гильбертово — линейное — локально компактное — метризуемое — метрическое — неполное — нормированное векторное — полное — сепарабельное — с мерой ПО — топологическое — функциональное — хаусдорфово
Р
Радиус Разностное множество Разность множеств Расстояние между двумя множествами -----функциями РобинсонР Ротор векторного поля Ряд гармонический — мажорирующий — Маклорена — неотрицательный — положительный — расходящийся — степенной — сходящийся — тригонометрический — условно сходящийся
С
Свойство Коши Сдвиг множества — — по модулю СерпинскийВ Сигма-кольцо Система действительных чисел — окрестностей Сложение Соответствие взаимно однозначное Структура Сужение функции Сумма ряда Сходимость в среднем — по мере — почти всюду — с интегрируемой мажорантой Сходящаяся последовательность ---множеств — — функций ТарскийА Теорема Гейне — Бореля — Дини — Жордана — Колмогорова — Лейбница — Мертенса — Мура — Осгуда Указатель Теорема о полном упорядочении — о среднем значении — Радона — Никодима — Римана — Ролля — Стокса — Стоуна — Вейерштрасса
Т
ТеплицО Топология дискретная — индуцированная — порожденная — сильная — слабая — тривиальная Точка внутренняя — граничная — конденсации — предельная Троичная дробь
Ф
Фату Фейер Фон Нейман Дж Функция алгебраическая — бесконечно дифференцируемая — возрастающая — действительного переменного — действительнозначная — дифференцируемая — измеримая — интегрируемая по Лебегу ---по Риману — канторова — линейная — локально ограниченная --- однородная — множества счетно аддитивная ПО — монотонная — неизмеримая — неотрицательная ПО — непрерывная — ограниченная — однородная Функция периодическая --- с периодом р — полунепрерывная в точке --- сверху — — снизу — постоянная — равномерно непрерывная — рациональная — строго возрастающая — — монотонная — трансцендентная — убывающая — характеристическая
Х
ХардиГ X ХаусдорфФ
Ц
ЦааненАК Центр сферической окрестности Цорна лемма
Ч
Частные производные Число действительное — кардинальное — комплексное — натуральное — порядковое — простое — рациональное — целое Член последовательности
Ш
Шар замкнутый — открытый Шварц ГА Штейнгауз
Э
Эквивалентные метрики — функции Элемент множества — отрицательный — положительный — противоположный — составной
Я
Ядро множества
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
