|
Э.А.Коддингтон, Н.Левинсон. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
| | Оглавление
Предисловие переводчика.
Из предисловия авторов
Глава I. существование и единственность решений
§1. Существование решений
§2. Единственность решений.
§3. Метод последовательных приближений.
§4. Продолжение решений.
§5. Системы дифференциальных уравнений
§6. Уравнение порядка n.
§7. Зависимость решений от начальных данных и параметров
§8. Комплексные системы
Задачи.
Глава II. СУЩЕСТВОВАНИЕИ ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§1. Расширение понятия решения. Верхние и нижние решения.
§2. Уточнения теорем единственности.
§3. Единственность и последовательные приближения.
§4. Зависимость решений от начальных данных и параметров.
Задачи.
Глава III. линейные дифференциальные уравнения
§1. Предварительные определения и обозначения
§2. Линейные однородные системы.
§3. Неоднородные линейные системы.
§4. Линейные системы с постоянными коэффициентами
§5. Линейные системы с периодическими коэффициентами.
§6. Линейные дифференциальные уравнения порядка n
§7. Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами.
§8. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем
Задачи.
Глава IV. линейные системы с изолированными особенностями. ОСОБЕННОСТИ ПЕРВОГО РОДА
§1. Введение
§2. Классификация особенностей.
§3. Формальные решения
§4. Строение фундаментальных матриц.
§5. Уравнение порядка n
§6. Особенности в бесконечности.
§7. Пример. Уравнение второго порядка
§8. Метод Фробениуса
Задачи.
Глава V. линейные системы с изолированными особенностями. ОСОБЕННОСТИ ВТОРОГО РОДА
§1. Введение.
§2. Формальные решения
§3. Асимптотические ряды.
§4. Существование решений, которые имеют своими асимптотическими разложениями формальные решения. Действительный случай §5. Асимптотическая природа формального решения в комплексном случае
§6. Случай, когда матрица Д, имеет кратные характеристические корни..
§7. Иррегулярные особые точки уравнения порядка п.
§8. Интеграл Лапласа и асимптотические ряды.
Задачи.
Глава VI. асимптотическое поведение линейных систем,
СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
§1. Введение.
§2. Формальные решения
§3. Асимптотическое поведение решений
§4. Случай равных характеристических корней.
§5. Уравнение порядка n
Задачи.
Глава VII. самосопряженные задачи на собственные значенияВ СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО ИНТЕРВАЛА
§1. Введение.
§2. Самосопряженные задачи на собственные значения
§3. Существование собственных значении.
§4. Теоремы разложения и полноты.
Задачи.
Глава VIII. теоремы осцилляции и сравнения для линейных
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКАИ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§1. Теоремы сравнения
§2. Существование собственных значений.
§3. Периодические краевые условия.
§4. Области устойчивости для уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами
Задачи.
Глава IX. сингулярные самосопряженные краевые задачи
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§1. Введение.
§2. Случаи предельной точки и предельного круга
§3. Теоремы полноты и разложения в случае предельной точки в бесконечности.
§4. Случай предельного круга в бесконечности
§5. Сингулярное поведение на обоих концах интервала
Задачи.
Глава X. сингулярные самосопряженные краевые задачи
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА п
§1. Введение.
§2. Теорема разложения и равенство Парсеваля
§3. Теорема обратного преобразования и единственность спектральной матрицы
§4. Функция Грина.
§5. Представление спектральной матрицы при помощи функции
Грина.
Задачи.
Глава XI. алгебраические свойствалинейных краевых задач
НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
§1. Введение.
§2. Формула краевых форм.
§3. Однородные краевые задачи и сопряженные задачи
§4. Неоднородные краевые задачи и функция Грина
Задачи.
Глава XII. несамосопряженные краевые задачи
§1. Введение.
§2. Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = —х §3. Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = — х+
§4. Случай уравнения порядка n
§5. Характер разложения.
Задачи.
Глава XIII. асимптотическое поведение нелинейных систем.
УСТОЙЧИВОСТЬ
§1. Асимптотическая устойчивость
§2. Первая вариация. Устойчивость траекторий (орбитальная устойчивость).
§3. Асимптотическое поведение одной системы
§4. Условная устойчивость.
§5. Поведение решений вне устойчивого многообразия.
Задачи.
Глава XIV. возмущения систем, имеющих периодическое
РЕШЕНИЕ
§1. Неавтономные системы
§2. Автономные системы..
§3. Возмущение линейной системы с периодическим решением в неавтономном случае.
§4. Возмущение автономной системы с обращающимся в нуль якобианом.
Задачи.
Глава XV. теория возмущений двумерных действительных
АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§1. Двумерные линейные системы..
§2. Возмущения двумерной линейной системы.
§3. Правильные узлы и правильные фокусы
§4. Центры.
§5. Неправильные узлы
§6. Седла.
Задачи.
Глава XVI. теория Пуанкаре—бендиксона двумерных автономных систем
§1. Предельные множества траектории.
§2. Теорема Пуанкаре—Бендиксона
$3. Предельные множества с особыми точками
§4. Индекс изолированной особой точки
§5. Индекс простой особой точки
Задачи
Глава XVII. дифференциальные уравнения на торе
§1. Введение.
§2. Числа вращения.
§3. Производное множество
§4. Эргодический случай.
§5. Характеристика решений в эргодическом случае.
§6. Система двух уравнений.
Литература
Указатель обозначений
Предметный указатель
з. — задачи
А
Автономная система Айне Ince E. L. Аналитический вектор Асимптотика грубая Асимптотическая устойчивость траекторий — фаза з. Асимптотически устойчивое решение Асимптотические ряды з. - ---для линейных систем с большим параметром ----- уравнения порядка п с параметром ---и интеграл Лапласа ---как формальные решения Асимптотическое поведение решений линейных систем з. — з. з. з. -----нелинейных систем — з: — -----уравнений второго порядка . . -------порядка п з. з. Асколи лемма
Б
Базис см. Фундаментальное множество Бесселя неравенство — уравнение з. — функции з. Билинейная форма Боля теорема Брауэра теорема о неподвижной точке з. з.
В
Вариации постоянных формула Вектор Вектор аналитический — компонента — норма или величина — производная — эвклидова длина Ветвления точка Возмущения двумерный случай з. з. — — линейных систем з. -----с периодическим решением автономный случай ------------неавтономный случай -------- периодическими коэффициентами з. — уравнений второго порядка з. Вращения число Вронскиан Выпуклая область Вырожденное гипергеометрическое уравнение
Г
Гильбертово пространство Гипергеометрическое уравнение ---вырожденное Гомеоморфизм Грина формула — функция ---в случае предельного круга ---для задач второго порядка ---— несамосопряженных задач з. -----оператора Lx=— х -------Lx = —х + q t x ----- сингулярного случая порядка п -----системы первого порядка з. -----сопряженной задачи ---полюсы з. ---разложение з. Грина функция связь со спектральной матрицей ---симметрия в самосопряженном случае з. Грубая асимптотика
Д
Данжуа Denjoy A. Дифференциальное уравнение ---на торе
Е
Единственности теоремы для начальных задач з. Единственность спектральной матрицы см. Спектральная матрица --- функции
Ж
Жордана теорема Жорданова кривая
З
Зависимость верхнего решения от начальных данных — решений от начальных данных з. з. ---------аналитический случай ----------случай разрывной правой части з. -----параметра з. ------- аналитический случай Задачи на собственные значения см. Краевые задачи Замкнутое множество функций
И
Индекс изолированный особой критической точки — исключительный — кривой Жордана — периодической траектории — простой особой критической точки — сингулярный Интервал Иррегулярная особая точка -----обобщение для нелинейных систем Исключительные индексы — компоненты
К
Кажущаяся особенность Кампен ван van Kampen E. Каноническая форма матрицы з. Каратеодори теорема существования Комплексные системы Компонента вектора — исключительная — сингулярная Копсон Copson E. Т. Коши—Буняковского неравенство — интегральная формула — интегральный метод Коши—Пеано теорема Краевая задача --- для нелинейного уравнения второго порядка з. -----сингулярной пары уравнений первого порядка з. -----сингулярных систем первого порядка з. — ----------порядка п з. ----- систем первого порядка з. -------порядка п з. ! -----уравнений второго порядка --- неоднородная ---несамосопряженная второго порядка -----для систем первого порядка з. ----- порядка п --- однородная --- периодические краевые условия ---самосопряженная ---сингулярная самосопряженная второго порядка ------- порядка n ---сопряженная Краевой оператор Краевые формы ---векторные --- дополнительные Краевых форм формула Кусочно непрерывная производная
Л
Лагранжа тождество Лапласа интеграл Лежандра уравнение з. Линейные системы аналитические коэффициенты ---асимтотическое поведение решений ---возмущения; см. Возмущения линейных систем --- двумерные ---неоднородные ---однородные ; см. Однородные линейные системы ---особые точки; см. Особые точки линейных систем . Линейные системы периодические коэффициенты з. ---порядка п з. ---постоянные коэффициенты з. ---содержащие большой параметр — уравнения вронскиан ---метод вариации постоянных ---неоднородные ---однородные ---периодические коэффициенты з. ---понижение порядка --- порядка n ---постоянные коэффициенты ---сопряженные ---фундаментальное множество Липшица постоянная — условие ---абстрактная форма з. --- для векторов ---обобщенная форма з. Логарифм матрицы Логарифмическая матрица формальная — сумма формальная Логарифмически-экспоненциальная матрица ---сумма Лорана формальные ряды
М
Матрица единичная — каноническая форма з. — комплексно сопряженная — логарифм — логарифмически-экспоненциальная — норма — нулевая — обратная — определитель — особая — производная — след — сопряженная — спектральная см. Спектральная матрица — транспонированная — формальная логарифмическая — формальное решение — фундаментальная см. Фундаментальная матрица — характеристические корни Матрица характеристический многочлен — характеристическое уравнение — экспонента Матрицы подобные — ряды — сходимость Матье уравнение Маятник затухающие колебания з. Мейсснера уравнение Мультипликативный интеграл з. Мультипликаторы
Н
Начальная задача ---для систем ---теоремы единственности з. -----существования Неавтономные системы Неоднородные линейные системы формула вариации постоянных --- — фундаментальная матрица Норма или величина вектора — интегрального оператора — матрицы — последовательности чисел — функции в S Нормированные собственные функции Нули решений уравнений второго порядка з. з. —
О
Области устойчивости з. Область Обратного преобразования теорема для сингулярных систем порядка л з. -----сингулярный случай второго порядка ----------порядка n Обращение дифференциального оператора з. Однородные линейные системы -----понижение порядка -----соответствующее матричное уравнение -----сопряженные -----фундаментальная матрица --- — фундаментальное множество или базис Оператор дифференциальный — сопряженный Определяющее уравнение Ортогональные функции Ортонормированная последовательность Особая точка линейной системы -------второго рода ------------ в бесконечности ------- изолированная --------иррегулярная --------кажущаяся ------- первого рода ------------ в бесконечности -------регулярная --- ранг . ---системы порядка п первого рода з. --- уравнения порядка п --- -----иррегулярная ---------первого рода ---------регулярная Особые критические точки действительной системы —-------индекс ---------простые
П
Парсеваля равенство — — для сингулярных систем по рядка п з. ---сингулярный случай второго порядка --------порядка п з. Первая вариация Перемежаемость нулей решений Периодические коэффициенты в возмущениях линейных систем з. з. -----линейных системах з. ------сингулярных задачах з. ------уравнении второго порядка з. — ------- первой вариации --------порядка п з. --- устойчивость систем Периодические краевые условия для уравнений второго порядка — нелинейные системы з. --- уравнения — решения аналитический случай ---асимптотическая устойчивость ------- траекторий Периодические решения существование в автономном случае -------неавтономном случае з. -----для нелинейных уравнений з. з. з. — --- на торе Перрон Perron О. Пикара—Линделёфа теорема существования Планшереля равенство — теорема Полутраектория Полярные уравнения — функции Последовательные приближения ---в банаховом пространстве з. --- расходимость ---сходимость з. Постоянные коэффициенты з. Предельная точка ---полутраектории — траектория Предельного круга в бесконечности случай Предельной точки в бесконечности случай ---------достаточные условия ---случай примеры з. з. з. Предельные множества траекторий Предельный круг — цикл Приближенные решения ---расходимость з. Притяжения точка Продолжение решений з. — верхних и нижних решений Производная вектора Производное множество Пространство ? — %е Пуанкаре A. Poincare H. Пуанкаре—Бендиксона теорема
Р
Равенство Парсеваля см. Парсеваля равенство Равностепенная непрерывность Равносходимость Разложения теорема для сингулярных систем порядка п з. -----систем первого порядка з. * Разложения теорема для систем порядка п з. ---несамосопряженный случай второго порядка з. ------- порядка п ---самосопряженный случай ---сингулярный случай второго порядка --------порядка п з. ---формулировка в гильбертовом пространстве з. з. Ранг особой точки Регулярная особая точка — точка Реллих Rellich F. з. Решение — верхнее — в расширенном смысле — зависимость от начальных данных ; см. Зависимость от начальных данных — нижнее — периодическое; см. Периодические решения — продолжение ; см. Продолжение решений — субгармоническое — тривиальное — устойчивое — формальное — е-приближенное Рисе Ф. Riesz F. Рисса—Фишера теорема
С
Самосопряженности условие Самосопряженные задачи см. также Краевая задача ---для систем первого порядка з. з. -------порядка п з. --- краевые условия для них з. ---примеры з. з. ---случай предельного круга -----предельной точки з. з. Самосопряженный дифференциальный оператор з. з. — оператор з. Седло з. Секефальви-Надь Б. Sz.-Nagy В. з. Симметричный оператор з. Сингулярные индексы — компоненты — краевые задачи см. Краевая задача Системы дифференциальных уравнений -----комплексные -----начальная задача Системы типа Фукса Скалярное произведение Смежные траектории Собственные значения ---в случае предельного круга з. --- для интегрального оператора -----уравнений второго порядка з. з. ---существование ----- для уравнений второго порядка — функции ---в сингулярных задачах з. ---для систем первого порядка з. -------порядка п з. ---замкнутость множества в самосопряженном случае з. --- интегрального оператора ---нормированные --- ортогональность --- ортонормированные ---полнота множества в самосопряженном случае — ---счетность множества Соотношение полноты см. Парсеваля равенство Сопряженное уравнение Сопряженные системы Сопряженный оператор Спектр — непрерывный — производное множество з. — собственные значения — точечный Спектральная матрица в несингулярном случае порядка п ----- сингулярном случае порядка п -----случае предельного круга ---выражение при помощи функции Грина --- единственность -----в сингулярном случае второго порядка ------------порядка п — функция в несингулярном случае ---------- второго порядка -----случае предельного круга Спектральная функция в случае предельной точки ---единственность з. ---примеры з. з. з. Спектральное разложение з. Сравнения теоремы Степенные ряды формальные Субгармонические решения Существования теорема для аналитических систем -----верхних и нижних решений -----линейных систем з. з. -----начальной задачи -----последовательных приближений з. -----уравнения неразрешенного относительно производной з. ---Каратеодори ---Коши—Пеано ---Пикара—Линделёфа --- формулировка в банаховом пространстве з. з. Сходимость по норме Теорема обратного преобразования см. Обратного преобразования теорема — существования см. Существования теорема
Т
Топологическое отображение Тор дифференциальное уравнение на нем Траектория — двумерной линейной системы — — периодическая — — предельная — смежная Трансверсаль Тривиальное решение Туритин Turritin H. U. Узел — неправильный — правильный Уравнения порядка п см. также Краевая задача ----- начальная задача -----решение -----соответствующая система -----теорема существования
У
Условие Липшица см. Липшица условие Условная устойчивость Устойчивое многообразие — решение Устойчивости области з. Устойчивость асимптотическая — решений двумерных линейных систем — траекторий орбитальная устойчивость з. ---асимптотическая — условная
Ф
Фокус — правильный Формальная логарифмическая сумма Формальные логарифмически-экспоненциальные матрицы ----- суммы Формальные решения ---асимптотическая природа з. — з. ---для линейных систем с большим параметром -----неоднородных линейных систем с параметром з. з. -----систем с особенностью второго рода ----------- первого рода — — ряды Лорана — степенные ряды Формула Грина см. Грина формула Фрагмена—Линделёфа теорема Фробениуса метод ---для систем з. Фундаментальная матрица —---для случая особенности первого рода ---соответствующая уравнению порядка п Фундаментальное множество решений или базис Функция Грина см. Грина функция Фурье интегральная формула — коэффициенты
Х
Характеристические корни матрицы Характеристические показатели Характеристический многочлен матрицы Характеристическое уравнение матрицы Хелли теорема Хилла уравнение
Ц
Центр
Ч
Число вращения
Э
Эвклидова длина вектора Эйлера уравнение Эргодический случай --- достаточное условие ---характеристика решений Эрмита многочлен — оператор
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
