|
В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ
| | Содержание
Предисловие.
Глава 1. Бифуркации положений равновесия.
§ 1. Семейства и деформации.
1.1. Семейства векторных полей.
1.2. Пространство струй.
1.3. Лемма Сарда и теоремы трансверсальности.
1.4. Простейшие приложения: особые точки типичных векторных полей.
1.5. Топологически нереальные деформации.
1.6. Теорема сведения.
1.7. Типичные и главные семейства.
§ 2. Бифуркации особых точек в типичных однопараметрических семействах.
2.1. Типичные ростки и главные семейства.
2.2. Мягкая и жесткая потеря устойчивости.
§ 3. Бифуркации особых точек в многопараметрических семействах общего положения при однократном вырождении линейной части
3.1. Главные семейства.
3.2. Бифуркационные диаграммы главных семейств (3*).
3.3. Бифуркационные диаграммы (относительно слабой эквивалентности) и фазовые портреты главных семейств (4±).
§ 4. Бифуркации особых точек векторных полей с двукратным вырождением линейной части.
4.1. Список вырождений.
4.2. Два вулевых собственных значения.
4.3. Редукции к двумерным системам.
4.4. Нулевое и пара чисто мнимых собственных значений :
4.5. Две чисто мнимых пары.
4.6. Главные деформации уравнений трудного типа в задаче о двух мнимых парах (по Жолондеку).
§ 5. Показатели мягкой и жесткой потери устойчивости.
5.1. Определевия.
5.2. Таблица показателей.
Глава 2. Бифуркации предельных циклов.
§ 1. Бифуркации предельных циклов в типичных однопараметрических семействах.
1.1. Мультипликатор 1.
1.2. Мультипликатор —1 и бифуркация удвоения периода. S
1.3. Пара комплексно сопряженных мультипликаторов S
1.4. Нелокальные бифуркации в однопараметрических семействах диффеоморфизмов.
1.5. Нелокальные бифуркации периодических решений
1.6. Бифуркации распада инвариантных торов.
§2. Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семействах
при однократном дополнительном вырождении.
2.1. Перечень вырождений.
2.2. Мультипликатор 1 или —1 с дополнительным вырождением
в нелинейных членах.
2.3. Пара мультипликаторов на единичной окружности с дополнительным вырождением в нелинейных членах.
§ 3. Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семейства
при сильных резоиансах порядка q!=4.
3.1. Нормальная форма в случае унипотентной жордановой клетки
3.2. Усреднение в слоениях Зейферта и Мёбиуса.
3.3. Главные поля и деформации.
3.4. Версальность главных деформаций.
3.5. Бифуркации стационарных решений периодических дифференциальных уравнений при сильных резонансах порядка q!=4
§ 4. Бифуркации предельных циклов при прохождении пары мультипликаторов через ±i
4.1. Вырожденные семейства.
4.2. Вырожденные семейства, найденные аналитически.
4.3. Вырожденные семейства, найденные численно.
4.4. Бифуркации в невырожденных семействах.
4.5. Предельвые циклы систем с симметрией четвертого порядка
§ 5. Конечногладкие нормальные формы локальных семейств.
5.1. Обзор результатов.
5.2. Определения и примеры.
5.3. Общие теоремы и деформации нерезоиансных ростков.
5.4. Приведение к линейной нормальной форме.
5.5. Деформации ростков диффеоморфизмов типа Пуанкаре.
5.6. Деформации однорезонансных гиперболических ростков.
5.7. Деформации ростков, векторных полей с одним нулевым собственным значением в особой точке.
5.8. Функциональные инварианты диффеоморфизмов прямой.
5.9. Функциональные инварианты локальных семейств диффеоморфизмов.
5.10. Функциональные -инварианты семейств векторных полей
5.11. Функциональные инварианты топологической классификации
локальных семейств диффеоморфизмов прямой (по Руссари)
§ 6. Универсальность Фейгенбаума для диффеоморфизмов и потоков
6.1. Каскад удвоений.
6.2. Перестройки неподвижных точек.
6.3. Каскад п-кратиых увеличений периода.
6.4. Удвоение в гамильтоновых системах.
6.5. Оператор удвоения для одномерных отображений.
6.6. Механизм универсального удвоения для диффеоморфизмов
Глава 3. Нелокальные бифуркации.
§ 1. Вырождения коразмерности
1. Сводка результатов.
1.1. Локальные и нелокальные бифуркации.
1.2. Негиперболические особые точки.
1.3. Негиперболические циклы.
1.4. Нетрансверсальные пересечения многообразий.
1.5. Контуры -.
1.6. Бифуркационные поверхности.
1.7. Характеристики -бифуркаций.
1.8. Сводка результатов.
§ 2. Нелокальные бифуркации потоков на двумерных поверхностях
2.1. Полулокальные бифуркации потоков на поверхностях.
2.2. Нелокальные бифуркации на сфере; однопараметрический случай.
15-
2.3. Типичные семейства векторных полей.
2.4. Условия типичности.
2.5. Однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от сферы.
2.6. Глобальные бифуркации систем, с глобальной секущей на торе
2.7. Некоторые глобальные бифуркации на бутылке Клейна
2.8. Бифуркации иа двумерной сфере. Многопараметрический случай.
2.9. Некоторые открытые вопросы. ПО»
§ 3. Бифуркации гомоклинических траекторий негиперболической особой точки.
3.1. Узел по гиперболическим переменным.
3.2. Седло по гиперболическим переменным: одна гомоклииическая траектория.
3.3. Топологическая схема Бернулли.
3.4. Седло по гиперболическим переменным: несколько гомоклиии-ческих траекторий.
3.5. Главные семейства.
§ 4. Бифуркации гомоклинических траекторий иегиперболического
цикла.
4.1. Структура семейства гомоклинических траекторий.
4.2. Критические и некритические циклы.
4.3. Рождение гладкого двумерного аттрактора.
4.4. Рождение сложных инвариантных множеств (некритический случай).
4.5. Критический случай.
4.6. Двухшаговый переход от устойчивости к турбулентности
4.7. Некомпактное множество гомоклинических траекторий.
4.8. Перемежаемость.
4.9. Достижимость, недостижимость.
4.10. Устойчивость семейств диффеоморфизмов.
4.11. Некоторые открытые вопросы.
§ 5. Гиперболические особые точки с гомоклинической траекторией
5.1. Предварительные понятия: ведущие направления и седловые величины.
5.2. Бифуркации гомоклииических траекторий седла, происходящие
на границе множества систем Морса — Смейла.
5.3. Требования общности положения.
5.4. Главные семейства в R3 и их свойства.
5.5. Версальность главных семейств.
5.6. Седло с комплексным ведущим направлением в R3.
5.7. Добавление: бифуркации гомоклииических петель вне границы множества систем Морса — Смейла.
§ 6. Бифуркации, связанные с иетрансверсальными пересечениями .
6.1. Векторные поля без контуров и гомоклииических траекторий
6.2. Теорема о недостижимости.
6.3. Модули.
6.4. Системы с контурами.
6.5. Диффеоморфизмы с нетривиальными базисными множествами
6.6. Векторные поля в R3 с гомоклииической траекторией цикла
6.7. Символическая динамика.
6.8. Бифуркации «подков Смейла».
6.9. Векторные поля на бифуркационной поверхности.
6.10. Диффеоморфизмы с бесконечным множеством устойчивых периодических траекторий.
§ 7. Бесконечные неблуждающие множества.
7.1. Векторные поля на двумерном торе.
7.2. Бифуркации систем с двумя гомоклииическими кривыми седла
7.3. Системы с аттракторами Фейгенбаума.
7.4. Рождение неблуждающих множеств.
7.5. Сохранение и гладкость инвариантных многообразий (по Фе-ничелю).
7.6. Вырожденное семейство и его окрестность в функциональном пространстве.
7.7. Рождение торов в трехмерном фазовом пространстве.
§ 8. Аттракторы и их бифуркации.
8.1. Вероятностно предельные множества (по Милнору).
8.2. Статистически предельные множества.
8.3. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов.
8.4. Внутренние бифуркации и кризисы положений равновесия и циклов.
8.5. Бифуркации двумерного тора.
Глава 4. Релаксационные колебания.
§ 1. Основные понятия.
1.1. Пример. Уравнение Ван дер Поля.
1.2. Быстрые и медленные движения.
1.3. Медленная поверхность и медленное уравнение.
1.4. Медленное движение как аппроксимация возмущенного.
1.5. Явление срыва.
§ 2. Особенности быстрого и медленного движений.
2.1. Особенности быстрого движения в точках срыва систем с одной быстрой переменной.
2.2. Особенности проектирования медленной поверхности.
2.3. Медленное движение систем с одной медленной переменной
2.4. Медленное движение систем с двумя медленными переменными.
2.5. Нормальные формы фазовых кривых медленного движения
2.6. Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной.
2.7. Вырождение контактной структуры.
§ 3. Асимптотика релаксационных колебаний.
3.1. Вырожденные системы.
3.2. Системы первого приближения.
3.3. Нормализация быстро-медленных уравнений с двумя медленными переменными при e>0.
3.4. Вывод систем первого приближения.
3.5. Исследование систем первого приближения.
3.6. Воронки.
3.7. Периодические релаксационные колебания на плоскости.
§ 4. Затягивание потери устойчивости при переходе пары собственных значений через мнимую ось.
4.1. Типичные системы.
4.2. Затягивание потери устойчивости.
4.3. Жесткость потери устойчивости в аналитических системах типа 2.
4.4. Гистерезис.
4.5. Механизм затягивания.
4.6. Вычисление момента срыва в аналитических системах.
4.7. Затягивание при потере устойчивости циклом.
4.8. Затягивание потери устойчивости и «утки».
§ 5. Решения-утки.
5.1. Пример: особая точка на складке медленной поверхности
5.2. Существование решений-уток.
5.3. Эволюция простых вырожденных уток.
5.4. Полулокальное явление: утки с релаксацией.
5.5. Утки и Rs и Rn.
Рекомендуемая Литература .
Литература .
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
