|
В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
| | ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот обзор посвящен, в основном, локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений.В него не включена теория бифуркаций; ей будет посвящена отдельная статья. Метод усреднения излагается в обзоре В. И. Арнольда, В. В. Козлова, А. И. Нейштадта «Математические аспекты классической и небесной механики* (т. 3 настоящего издания).
Мы не касаемся спектральной теории дифференциальных операторов с одной независимой переменной (см., например,
Содержание
Предисловие.
Глава 1. Основные понятия.
§ 1. Определения.
1.1. Поля- направлений и их интегральные кривые.
1.2. Векторные поля, автономные дифференциальные уравнения, интегральные и фазовые кривые.
1.3. Поля направлений и неавтономные дифференциальные уравнения.
1.4. Диффеоморфизмы и фазовые потоки.
1.5. Особые точки.
1.6. Действие диффеоморфизма на векторное поле.
1.7. Первые интегралы.
1.8. Дифференциальные уравнения с комплексным временем.
1.9. Голоморфные поля направлений в комплексной области.
1.10. Дифференциальные уравнения высших порядков.
1.11. Дифференциальные уравнения на многообразии.
§ 2. Основные теоремы.
2.1. Теорема о выпрямлении векторного поля.
2.2. Теорема существования и единственности.
2.3. Теорема о выпрямлении поля направлений.
2.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений.
2.5. Теорема о продолжении.
2.6. Теорема о дифференцируемой и аналитической зависимости от начальных условий и параметров.
2.7. Уравнение в вариациях.
2.8. Теорема о непрерывной зависимости.
2.9. Теорема о локальном фазовом потоке.
2.10. Теорема о первых интегралах.
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения.
3.1. Экспонента линейного оператора.
3.2. Теорема о связи фазовых потоков линейных векторных полей
и экспонент линейных операторов.
3.3. Комплексификаиия фазового пространства.
3.4. Седло, узел, фокус, центр.
3.5. Формула Лиувилля— Остроградского.
3.6. Линейные уравнения высших порядков.
§ 4. Устойчивость.
4.1. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая.
4.2. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению
4.3. Функция Ляпунова и функция Четаева.
4.4. Особые точки общего положения.
§ 5. Циклы.1. Строение фазовых кривых вещественных дифференциальных уравнений.
5.2. Преобразование монодромии замкнутой фазовой кривой. Предельные циклы.
5.3. Кратность циклов.
5.4. Мультипликаторы.
5.5. Предельные множества и теорема Пуанкаре — Беидиксона
§ 6. Системы с снмметриями.
6.1. Группа симметрии дифференциального уравнения.
6.2. Факторсистемы.
6.3. Однородные уравнения.
6.4. Использование симметрии для понижения порядка.
§ 7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно
производной.
7.1. Основные понятия: криминанта, интегральные кривые.
7.2. Регулярные особые точки.
7.3. Сложенные седла, узлы и фокусы.
7.4. Нормальные формы сложенных особых точек.
7.5. Сборки.
§ 8. Аттракторы.
8.1. Определения
8.2. Оценка сверху размерности максимальных аттракторов.
8.3. Приложения.
Глава . 2. Дифференциальные уравнения на поверхностях.
§ 1. Структурно устойчивые уравнения на окружности и сфере.
1.1. Определения.
1.2. Одномерный случай.
1.3. Структурно устойчивые системы на двумерной сфере. § 2. Дифференциальные уравнения на двумерном торе.
2.1. Двумерный тор и векторные поля на нем.
2.2. Преобразование монодромии.
2.3. Число вращения.
§ 3. Структурно устойчивые дифференциальные уравнения на торе
3.1. Описание структурно устойчивых уравнений.
3.2. Оценка числа циклов.
§ 4. Уравнения на торе с иррациональным числом вращения.
4.1. Эквивалентность диффеоморфизма окружности повороту.
4.2. Диффеоморфизмы окружности и векторные поля на S3. § 5. Замечания о числе вращения.
5.1. Число вращения как функция параметров.
5.2. Семейства уравнений на торе.
5.3. Эндоморфизмы окружности.
Глава 3. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном
вещественном фазовом пространстве.
§ 1. Топологическая классификация гиперболических особых точек
1.1. Теорема Гробмана — Хартмана.
1.2. Классификация линейных систем.
§ 2. Устойчивость по Ляпунову н проблема топологической классификации.
2.1.О локальных задачах анализа.
2.2 Алгебраическая и аналитическая неразрешимость проблемы
устойчивости по Ляпунову.
2.3. Алгебраическая разрешимость до вырождений конечной коразмерности.
2.4. Топологически нестабилизируемые струи.
§ 3. Формальная классификация ростков векторных полей.
3.1. Формальные векторные поля и их эквивалентность.
3.2. Резонансы. Нормальные формы Пуанкаре — Дюлака и их обобщения.
3.3. Приложения теории формальных нормальных форм.
3.4. Полиномиальные нормальные формы.
§ 4. Инвариантные многообразия и теорема сведения.
4.1. Теорема Адамара—Перрона.
4.2. Теорема о центральном многообразии.
4.3. Принцип сведения.
§ 5. Критерии устойчивости и топологическая классификация особых
точек в случае вырождений малой коразмерности.
5.1. Структура критериев.
5.2. Топологическая классификация ростков гладких векторных полей до вырождений коразмерности 2 включительно.
5.3. Фазовые портреты нормальных форм.
5.4. Критерии устойчивости по Ляпунову для вырождений до коразмерности 3 включительно.
5.5. Диаграмма примыканий.
5.6. Теоремы об алгебраической разрешимости.
§ 6. Гладкая классификация ростков векторных полей.
6.1. Соотношение формальной и гладкой классификации.
6.2. Ростки векторных полей с симметриями.
6.3. Квазигиперболичность.
6.4. Конечно гладкая эквивалентность ростков векторных полей
§ 7. Нормальные формы векторных полей, линейная ЧАСТЬ которых —
нильпотентная жорданова клетка.
7.1. Центрированные цепочки.
7.2. Неубиваемые невязки.
7.3. Стандартное представление группы SL(2) и алгебры si (2)
7.4. Продолжение ннльцотентного оператора до представления алгебры Ли si (2).
7.5. Окончание доказательства теоремы.
Глава 4. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном
комплексном фазовом пространстве.
§ 1. Линейные нормальные формы.
1.1. Области Пуанкаре и Зигеля. Малые знаменатели.
1.2. Сходимость нормализующих рядов.
1.3. Аналитические теоремы о расходимости нормализующих рядов
1.4. Геометрические теоремы о расходимости нормализующих рядов §2. Связь формальной и аналитической классификации.
2.1. Условие А.
2.2. Замечание.
§ 3. Аналитические инвариантные многообразия.
3.1. Теорема об инвариантном многообразии.
3.2. Следствия.
3.3. Об аналитическом центральном многообразии дифференциальных уравнений на плоскости.
§ 4. Топологическая классификация особых точек в комплексной области.
4.1. Линейные векторные поля.
4.2. Нелинейный случай.
Глава 5. Особые точки векторных полей на вещественной и комплексной плоскости.
§ 1. Разрешение особенностей.
1.1. Раздутие или о-процесс на плоскости.
1.2. Элементарные особые точки.
1.3. Хорошие раздутия.
§ 2. Гладкая орбитальная классификация элементарных особых точек на плоскости.
2.1. Таблица нормальных форм: аналитический случай.
2.2. Нормальные формы в гладком случае.
§ 3. Топологическая классификация сложных особых точек с характеристической траекторией.
3.1 Основная альтернатива.
3.2. Топологическая классификация дифференциальных уравнений
на плоскости в окрестности особой точки.
3.3. Топологическая конечная определенность. Диаграммы Ньютона векторных полей.
3.4. Исследование векторных полей по главной части.
§ 4. Проблема различения центра и фокуса.
4.1. Постановка проблемы.
4.2. Алгебраическая неразрешимость.
4.3. Центр по линейным членам.
4.4. Нильпотентная жорданова клетка.
4.5. Особые точки без исключительных направлений.
4.6. Общий случай.
4.7. Обобщенная первая фокусная величина.
4.8. Полиномиальные векторные поля.
§ 5. Аналитическая классификация элементарных особых точек в комплексной области.
5.1. Ростки конформных отображений с тождественной линейной ЧАСТЬ ю.
5.2. Классификация резонансных отображений и векторных полей
с нелинейностями общего положения.
5.3. Продолжение предыдущего: вырожденные элементарные особые точки.
5.4. Геометрия аналитических нормальных форм.
5.5. Приложения.
5.6. Добавление об аналитических нормальных формах.
§ 6. Орбитальная топологическая классификация элементарных особых точек на комплексной плоскости.
6.1. Нерезонансный случай.
6.2. Седловые резонансные векторные поля.
6.3. Вырожденные элементарные особые точки.
Глава 6. Циклы.
§ 1. Преобразование монодромии.
1.1. Определения.
1.2. Реализация.
§ 2. Локальная теория диффеоморфизмов.
2.1. Линейные нормальные формы.
2.2. Резонансный случай.
2.3. Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов.
2.4. Инвариантные многообразия цикла.
2.5. Раздутия.
§ 3. Уравнения с периодической правой ЧАСТЬ ю.
3.1. Нормальная форма линейного уравнения с периодическими коэффициентами.
3.2. Линейные нормальные формы.
3.3. Резонансные нормальные формы.
§ 4. Предельные циклы полиномиальных векторных полей на плоскости.
4.1. Проблема конечности и сложные циклы.
4.2. Преобразование монодромин сложного цикла.
4.3. Открытые вопросы.
4.4. Одна теорема конечности.
4.5. Метод доказательства теоремы Дюлака и ее обобщения.
4.6. Полиномиальные векторные поля второй степени.
§ 5. Предельные циклы систем, близких к гамильтоновым.
5.1. Рождение вещественных предельных циклов.
5.2. Рождение комплексных циклов.
5.3 Исследование вариации.
5.4. Ослабленная проблема Гильберта.
5.5. Специальные случаи.
$ 6. Полиномиальные дифференциальные уравнения на комплексной
плоскости.
6.1. Допустимые поля.
6.2. Полиномиальные поля.
Глава 7. Аналитическая теория дифференциальных уравнений.
§ 1. Уравнения без подвижных критических точек.
1.1. Определение.
1.2. Подвижные критические точки уравнения первого порядка
1.3. Уравнения Риккати.
1.4. Уравнения, не разрешенные относительно производной.
1.5. Уравнения Пенлеве.
§ 2. Локальная теория линейных уравнений с комплексным временем
2.1. Регулярные н иррегулярные особые точки.
2.2. Формальная, голоморфная и мероморфная эквивалентность
2.3. Монодромия.
2.4. Формальная теория линейных систем с фуксовой особой точкой
2.5. Формальная теория линейных систем с нефуксовой особой точкой.
2.6. Асимптотические ряды и явление Стокса.
2.7. Аналитическая классификация нерезонансных систем в окрестности иррегулярной особой точки.
§ 3. Теория линейных уравнений в целом.
3.1. Уравнения и системы класса Фукса.
3.2. Продолжимость и монодромия.
3.3. Теорема Римана — Фукса.
3.4. Аналитические функции от матриц.
3.5. Связь с теорией клейновых групп.
3.6. Интегрируемость в квадратурах.
3.7. Замечания о специальных уравнениях.
3.8. Группа монодромии уравнения Гаусса.
§ 4. Проблема Римана — Гильберта.
4.1. Постановка проблемы.
4.2. Проблема Рнмана — Гильберта для круга.
4.3. Проблема Римана — Гильберта для сферы.
4.4. Проблема Рнмана — Гильберта для фуксовых систем.
4.5. Обобщения.
4.6. Векторные расслоения на сфере.
4.7. Применения к проблеме Римана — Гильберта.
4.8. Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве.
Литература .
Предметный указатель .
А
Атрактор — странный
В
Вариация монодромии
Г
Группа всех симметрии дифференциального уравнения — диффеоморфизмов однопараметри-ческая — квазиодиородных растяжений — монодромии ---слоения --- уравнения Риккати
Д
Диаграмма Ньютона векторного поля Диффеоморфизм — выпрямляющий — структурно устойчивый Задача алгебраически разрешимая — алгебраически разрешимая до коразмерности k включительно — аналитически разрешимая
З
Замена формальная Знаменатели малые
И
Инволюция — допустимая Интеграл первый ---формальный
К
Комплексификацня линейного пространства Кратность особой точки — отображения в неподвижной точкеЖ — цикла Кривая дискриминантная Зв — интегральная --- голоморфного поля направлений ---дифференциального уравнения ------ие разрешенного относительно производной --- поля направлений — фазовая Криминанта
Л
Ласточкин хвост Линеаризация дифференциального уравнения в особой точке Ломаные Эйлера Луч раздела в Метод Рунге—Кутта
М
Многообразие инвариантное ---формальное — неустойчивое — устойчивое — центральное Многочлен правильный ( Множество вращения эндоморфизма окружности — полуалгебраическое — а-предельное — ©-предельное Монодромия пути Мультипликаторы цикла Набор мультипликативно резонансный — мультипликативного типа (С х). — несоизмеримый по Брюно — резонансный ---для системы с нефуксовой особой точкой ------ с фуксовой особой точкой — Стокса — строго зигелев
Н
Негрубость абсолютная Норма линейного оператора
О
Область Зигеля — Пуанкаре — резонанса Окружность вклеенная Оператор монодромии — Стокса Определитель Вронского Отображение последования — Л-сжимающее
П
Переменные гиперболические Период цикла Поверхность уравнения Поле векторное — — голоморфное ---квазноднородное ---линейное гиперболическое (слабо гиперболическое) в комплексном! фазовом пространстве — ---ft-резонансное ----- резонансное -----строго Зигелева типа -----типа Зигеля — ---типа Пуанкаре ---опускаемое ---плоское в точке ---производящее ---формально конечно определенное ---формальное »Г -----Доопределенное — допустимое — направлений ---голоморфное — — дифференциального уравнения ------не разрешенного относительно производной Зв --- однородное — плоскостей ---контактных - — производящее il — фазовой скорости потока Полутраектория отрицательная — положительная Полутрансверсаль Поток фазовый ---локальный Преобразование монодромии ---для сложных циклов ---особой точки Принцип сведения Продолжение решения — -струи Производная отображения Пространство фазовое ---расширенное — чебышевское о-процесс Прямая вклеенная проективная
Р
Раздутие полярное — хорошее Расслоение векторное на сфере Рима-на ---прямая сумма линейных --- тривиальное Расслоения векторные эквивалентные Резонанс Решение дифференциального уравнения Ростки голоморфных векторных полей формально орбитальио эквивалентные — конформных отображений аналитически эквивалентные Росток векторного поля — диффеоморфизма — отображения плоский — — полурегулярный — функции Ряд асимптотический
С
Сборка Седло — сложенное Сепаратриса седла Симметрия векторного поля — дифференциального уравнения — поля направлений Система обратимая — полная первых интегралов — решений фундаментальная — .структурно устойчивая — фуксов а Системы формально F-эквивалентные ---С-эквивалентные Складка Складывание поверхности уравнения Слоение Струя — нейтральная — неустойчивая — топологически нестабилизируемая — устойчивая
Т
Точка критическая --- подвижная — неподвижная диффеоморфизма гиперболическая — особая бесконечно удаленная — — векторного поля — — — — гиперболическая --- дифференциального уравнения --- иррегулярная ---монодромная ---невырожденная ---регулярная --- уравнения не разрешенного относительно производной Зв ---фуксова — — элементарная — периодическая диффеоморфизма Траектория диффеоморфизма характеристическая — точки под действием диффеоморфизма — характеристическая
У
Узел — жордаиов — сложенный Уравнение автономное — Бесселя — в вариациях — Вебера — Гаусса гипергеометрическое — диссипативиое — дифференциальное — — алгебраическоеЫ ---первого порядка разрешенное относительно производной — Лежандра — неавтономное — однородное — определяющее — Риккати — Римана — фуксово — Эйлера Уравнения голоморфно эквивалентные —мероморфно эквивалентные — Пенлеве Условие Липшица —
Ф
Фукса Устойчивость асимптотическая — по Ляпунову — структурная Факторсистема Фокус — сложенный Формула Лиувнлля — Остроградского Функция Ляпунова — квазиоднородная — угловая — Четаева
Ц
Центр Цикл — гиперболический — диффеоморфизма — комплексный — невырожденный — орбитальио асимптотически устой-вын ---устойчивый — порождающий — предельный ) — сложный ---элементарный Цикла неустойчивое многообразие — устойчивое многообразие — центральное многообразие
Ч
ЧАСТЬ главная векторного поля — линейная векторного поля Число вращения гомеоморфизма окружности ---дифференциального уравнения на торе Член мультипликативно резонансный — резонансный Эквивалентность векторных полей формальная — диффеоморфизмов топологическая С-гладкая аналитическая — дифференциальных уравнений окрестности особых точек топологическая С-гладкая аналитическая --------------- — орбитальная -----голоморфная --- — мероморфная ---- первого порядка не разрешенных относительно производной ----- топологическая орбитальная — локальных фазовых потоков топологическая — ростков векторных полей — формально голоморфная - — формально мероморфная
Э
Экспонента линейного оператора
Я
Явление Стокса
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
