|
А.А.Андронов, Е.А.Леонтович, И.И.Гордон, А.Г.Майер. Качественная теория динамических систем второго порядка.
| | Оглавление
Предисловие
Введение
Глава I. Динамические системы в плоской области и на сфере .
§ 1. Динамические системы в плоской области
1. Введение 2. Геометрическая интерпретация динамической системы (I) в пространстве Л3 3. Простейшие свойства решений системы (I) (21). 4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (ж, у) (24). 5. Разбиение области G фазовой плоскости на траектории. Некоторые элементарные сведения о траекториях (20). 6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R3 и геометрической интерпретации на фазовой плоскости (30). 7. Направление на траектории. Изменение параметризации (31). 8. Терминология и обозначения (34). 9. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений 10. Заена переменных (37). 11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе (38). 12. Изоклины (41). 13. Понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл», использующиеся в классической литературе при рассмотрении аналитических систем (41). 14. Примеры (43). 15. Замечания по поводу примеров (56).
§ 2. Динамические системы на сфере
I. Введение (58). 2. Определение динамической системы па сфере (58). 3. Динамическая система на сфере как векторное попе на сфере (61). 4. Решения и траектории динамической системы на сфере (61). 5. Примеры динамических систем на сфере (66).
Глава II. Предельные точки множества. Основные свойства траектории
Введение
§ 3. Вспомогательные предложения о характере пересечения траекторий с циклами и дугами без контакта
i. Дуга без контакта (71). 2. Обобщенная дуга без контакта (73). 3. Пересечение траектории с дугой без контакта (73). 4. Расположение траекторий в окрестности дуги без контакта (74). 5. Некоторые свойства функций Ф(t, s), Ч7(t, s) (77). 6. Траектории, пересекающие две дуги без контакта. Функция соответствия (81). 7. Случай, когда траектория имеет с дугой без контакта более одной общей точки (86). 8. Функция последования (90). 9. Замкнутые кривые, составленные из дуги траектории и дуги без контакта, и ограниченные ими области (92). . Цикл без контакта (05).
II. Семейство циклов без контакта. Траектории, входящие в область, заполненную циклами без контакта (96). 12. Цикл однократного пересечения (97). i3. Дифференцирование функции в силу системы (I) (98). 14. Цикл без контакта между двумя последовательными витками траектории, пересекающей дугу без контакта (99).
§ 4. Предельные точки и множества. Основные свойства траекторий . . .
1. Предельные точки полутраектории и траектории (102). 2. Примеры предельных точек (104). 3. Основные свойства множества предельных точек (104). 4. Свойства траекторий, характерные для динамических систем на плоскости или на сфере (106). 5. Некоторые свойства предельных траекторий (109). 6. Предельные траектории динамических систем, имеющих конечное число состояний равновесия. Возможные типы траекторий (112). 7. Теорема о наличии состояния равновесия внутри замкнутой траектории (i 14). 8. Основная теорема о состоянии равновесия (118). 9. Изолированная замкнутая траектория — предельный цикл. Возможное расположение траекторий в окрестности предельного цикла (119).
Г л~а в а III. Основные понятия качественной теории динамических систем J22
§ 5. Количественное и качественное исследование динамических систем J22 1. Введение (122). . Топологическая структура динамической системы (124). 3. Локальная топологическая структура (lol). 4. Свойства разбиения на траектории в целом и эффективные методы качественного исследования (133).
4
Оглавление
Т л а в а IV. Простое .состояние равновесия.
Введение
§ 6. Приведение динамической системы в окрестности простого состояния равновесия к каноническому виду
1. Аналитические условия, характеризующие простое состояние равновесия (137). 2. Приведение динамической системы в окрестности простого состояния равновесия к каноническому виду (139). 3. Инвариантность характеристического уравнения при регулярном преобразовании (144). 4. Некоторые предварительные замечания относительно возможной топологической структуры простых состояний равновесия (145).
§ 7. Расположение траекторий в окрестности простых состояний равновесия с характеристическими корнями, имеющими не рапные нулю действительные части
1. Случай 1): характеристические корни %t и %г действительны и одинаковых знаков (состояние равновесия типа узел) (146). 2. Случай 2): характеристические корни — комплексные сопряженные: %t = а + гР, Кг = с — ip, р ф 0, а ф 0 (состояние равновесия типа фокус) (151). 3. Случай 3): характеристические корни Хх и К2 действительны и различных знаков, т. е. Я.Д2 <О (состояние равновесия типа седло) (153). 4. Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия (160). 5. Замечания по поводу других методов исследования характера состояний равновесия с не равными нулю действительными частями характеристических корней (161). 6. Примеры (162). 7. Простейшие примеры сложных состояний равновесия (164).
| 8. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими
корнями.
i. Вводные замечания (166). 2. Переход к полярной системе координат (166). 3. Сопоставление траекторий Системы (I) и интегральных кривых уравнения (7) (170). :4. Построение функции последования на полупрямой 6=const (172). 5. Возможный характер отдельной траектории, проходящей через точку достаточно малой окрестности состояния равновесия (174).
6. Возможный характер разбиения на траектории достаточно малой окрестности состояния равновесияО (176). 7. Примеры (179).
§ 9. Направления, в которых траектории стремятся к простым состоя-
ниям равновесия
1. Основное определение (182). 2. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может стремиться к простому состоянию равновесия (185). 3. Узел с различными характеристическими корнями (187). 4. Дикри-тический узел (191). 5. Вырожденный узел (195). 6. Седло и фокус (199).
7. Сводка сведений о простых состояниях равновесия с не равными нулю действительными частями характеристических корней (200). 8. Примеры
Глава V. Теория индекса и ее приложения к динамическим системам
Введение.
§ 10- Индекс Пуанкаре
1. Вращение векторного поля (205). 2. Индекс простой замкнутой кривой по отношению к заданному на ней векторному полю (208). 3. Поле касательных к замкнутой кривой (212). 4. Определение индекса, данное Пуанкаре (213).
§ 11. Приложение теории индекса к динамическим системам.
i. Две основные теоремы (214). 2. Индекс изолированной особой точки (214). 3. Индекс как криволинейный интеграл (216). 4. Вычисление индексов простых состояний равновесия динамической системы (217).
Глава VI. Некоторые приемы качественного исследования конкретных динамических систем
Введение.
S 12. Признаки отсутствия и существования замкнутых траекторий
1. Некоторые общие замечания о кольцеобразных областях, заполненных замкнутыми траекториями (223). 2. Случай, когда об отсутствии предельных циклов можно заключить непосредственно на основании расположения изоклин горизонтальных и вертикальных наклонов и характера поля между ними (224). 3. Критерий Дюлака и Бендиксона (226). 4. Применение индексов Пуанкаре,и циклов однократного пересечения к решению вопросов существования предельных циклов (229). 5. Топографическая система кривых и контактная кривая (231). 6. Примеры (232).
§ 13. Поведение траекторий на бесконечности.
1. Общие замечания. Преобразование Бендиксона (237). 2. Рассмотрение динамической системы, правые части которой многочлены на «сфере Пуанкаре» (241). 3. Пример исследования экватора (249).
Оглавление
§ 14. Использование методов приближенного вычисления для определения качественной структуры разбиения на траектории 249 i. Общие замечания (249). 2. Метод изоклин (250). 3. Специфика использования численных методов при определении качественной структуры разбиения на траектории (252). 4. Случай, когда доказательство существования предельного цикла возможно при помощи приближенного построения дуг траектории (253). 5. Случай, когда топологическая структура разбиения на траектории принципиально не может быть установлена путем приближенного вычисления (построения) траекторий (254).
Глава VII. «Особые» траектории и ячейки динамической системы . . . Введение
§ 15. Орбитно-устойчивые и орбитно-неустойчивые траектории и полу-траектории . . .
1. Основные определения (257). 2. Простейшие примеры орбитно-устойчи-вых и орбитно-неустойчивых траекторий (260). 3. Возможные типы орбитно-неустойчивых полутраекторий и траекторий (262). 4. Вспомогательные леммы о поведении полутраекторий в окрестности состояния равновесия (263). 5. Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию равновесия (266). 6. Сепаратрисы состояния равновесия (275). 7. Некоторые вспомогательные предложения (277). 8. Полутраектории, среди предельных точек которых есть отличные от состояний равновесия (2Ь0). 9. Возможные типы особых и неособых траекторий в случае конечного числа состояний равновесия. Случай конечного числа особых траекторий (284).
§ 16. Ячейки динамической системы в случае конечного числа особых
траекторий
1. Вводные замечания (285). 2. Нормальная граница ограниченной области G*, содержащейся в области определения динамической системы (286).
3. Леммы о множестве точек, принадлежащих особым элементам (287).
4. Доказательство конечности числа ячеек (в случае конечного числа особых элементов) (288). 5. Случай динамической системы на сфере (290). 6. Поведение траекторий, близких к орбитно-устойчивым траекториям (291). 7. Некоторые предложения о незамкнутых орбитно-устойчивых траекториях (296). 8. Возможный характер неособых элементов внутри одной и той же ячейки (299). . Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями (300). 10. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями (304). 11. Свойства границы двусвязной ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями (307). 12. Ячейки, в границу которых входят граничные дуги (313). 13. Полное качественное исследование динамической системы. Схема динамической системы (315).
Глава VIII. Схема состояния равновесия .
Введение.
§ 17. Состояние равновесия, к которому стремится хотя бы одна полутраектория .
1. Вспомогательные предложения (317). 2. Возможный характер криволинейного сектора. Гиперболический (седловой), параболический и эллипти-ческий сектор (322). 3. Леммы об эллиптических областях (328).
§ 18. «Элементарные области». Типы элементарных областей
1. Проведение дуги без контакта в параболическом секторе (330). 2. Проведение дуг без контакта в эллиптической области (ЗЗС). 3. Правильная седловая область (337). 4. Топологическая тождественность разбиений на траектории элементарных областей одинакового типа (330).
§ 19. Локальная и полная (глобальная) схема состояния равновесия
1. Циклический порядок сепаратрис и эллиптических областей состояния равновесия, не являющегося центром (3 46). 2. Каноническая замкнутая кривая вокруг состояния равновесия (349). 3. Локальная схема состояния равновесия, не являющегося центром (3ft 1). '4. Полная (или глобальная) схема состояния равновесия, не являющегося центром (356). 5. Состояние равновесия типа центр (360).
Глава IX. Методы исследования некоторых типов сложных состояний
равновесия
Введение
§ 20. Направления, в которых траектории стремятся к сложному состоянию равновесия.
1. Переход к полярным координатам (ЗСЗ). 2. Общий случай (364). 3. Особый случай (367). 4. Примеры (372).
§ 21. Топологическая структура сложного состояния равновесия в случае О=Р'Х (0,0) + «?у (0, 0)=^0.
1. Вспомогательные преобразования и леммы (372). 2. Возможные топологические структуры сложного состояния равновесия в случае с =/- 0 (377).
6
Оглавление
§ 22. Топологическая структура сложного состояния равновесия в случае <т=0
i. Вспомогательные леммы (385). 2. Возможные топологические структуры сложного состояния равновесия в случае о = 0 (397). 3. Упрощение исследования. Примеры (404).
Глава X. Схема предельного континуума и границы области G*
Введение . : . .
§ 23. Свойства предельных континуумов и континуумов, входящих
в границы ячеек, заполненных замкнутыми траекториями i. Свойства со- и а-предельных континуумов, не являющихся состоянием равновесия (412). 2. Нуль-предельные континуумы и их свойства (417). 3. Теорема о континууме, состоящем из особых траекторий, являющихся продолжением одна другой (420).
§ 24. Локальная схема предельного континуума и каноническая окрестность
i. ш (а)-перечисление ш-, а- и 0-предельных континуумов (421). 2. Тождественность перечислений двух предельных континуумов (423). 3. «Односторонняя» каноническая окрестность предельного континуума (424). 4. Локальные схемы со-, а- и 0-предельных континуумов и теорема о тождественности разбиения на траектории канонических окрестностей континуумов с одинаковыми локальными схемами (426).
§ 25. Полная схема предельного континуума .
i. Простые замкнутые кривые, образованные траекториями, составляющими предельный континуум (432). 2. Односторонние и двусторонние предельные континуумы (435). 3. Взаимное расположение континуумов и их канонических кривых (439). 4. Свободные и несвободные континуумы (441). 5. Полная (глобальная) схема предельного континуума (442).
§ 26. Схема границы области .
i. Угловые точки граничных кривых (447). 2. Схема граничной кривой, схема границы и тождественность двух схем границы (449).
Глава XI. Схема динамической системы и основная теорема.
Введение.
§ 27. Правильная система канонических окрестностей. со(а)-дуги
и со(а)-циклы.
1. Обозначения для особых элементов динамической системы (454). 2. Правильные системы канонических окрестностей (454). 3. Элементарные дуги и свободные циклы без контакта (458). 4. Сопряженные элементарные со-и а-дуги и сопряженные свободные со- иа-циклы (461).
§ 28. Сопряженные свободные ю(а)-предельные и нуль-предельные континуумы и области между их каноническими окрестностями . . .
1. Взаимное расположение двух свободных сопряженных ч>- и а-циклов (463). 2. Сопряженные W- и а-предельные континуумы (465). 3. Сопряженные нуль-предельные континуумы (466). 4. Траектории, проходящие через концы сопряженных ю- и а-дуг (467). 5. Леммы о граничных особых элементах и и- и а-дугах, являющихся частями граничных дуг без контакта (469). 6. Цепочки из особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных (о- и а-дуг (472). 7. Области между сопряженными каноническими кривыми и между сопряженными елементарными дугами (478).
§ 29. Схема динамической системы и теорема о тождественности топологических разбиений на траектории
1. Схема динамической системы (481). 2. Соответствие по схеме между каноническими кривыми и дугами канонических кривых (4 86). 3. Сопряженные со- и а-дуги двух систем Ь и D' с тождественными схемами (488). 4. Основная теорема (490). 5. Схема динамической системы на сфере. Схема динамической системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу Пуанкаре (497).
Глава XII. Качественное исследование «в целом» конкретных динамических
систем .
§ 30. Примеры.
Дополнение .
§ 1. Элементарные сведения о множествах в евклидовом пространстве
1. Некоторые обозначения (519). 2. Сегмент и интервал (519). 3. Точка сгущения, граничная и внутренняя точка множества (519). 4. Множества открытые и замкнутые. Граница (520). 5. Расстояние между множествами. Компактные множества (520). 6. Связные множества. Континуум и область (520). 7. Области с общей границей (520). 8. Множества всюду плотные и нигде не плотные (521). 9. Окрестности, покрытия (521). it). Топологический предел (521). 11. Отображение множеств друг на друга (521). 12. То-
Оглавление
/
топологическое отображение (522). 13. Теорема Брауэра об инвариантности области (522). 14. Системы функций, описывающие отображение множеств (522). 15. Простая дуга (522). 16. Простая замкнутая кривая (523).
§ 2. Простые замкнутые кривые и простые дуги на плоскости. Ориентация плоскости (направление обхода простых замкнутых кривых). Тины топологических отображений .
1. Две основные теоремы (523). 2. Леммы о простой замкнутой кривой (523)-3. Направление обхода простых замкнутых кривых. Циклический порядок точек на простой замкнутой кривой (525). 4. Индуцированное направление на простои дуге, являющейся ЧАСТЬ ю простой замкнутой кривой (625). 5. Ориентация плоскости (525). 6. Некоторые предложения о направлениях обхода простых замкнутых кривых, имеющих общую дугу или общую точку (527). 7. Два предложения о связи между порядком точек на непересекающихся простых замкнутых кривых (528). 8. Два типа топологических отображений плоскости в себя (сохраняющие ориентацию и изменяющие ориентацию) (528).
§ 3. Положительная и отрицательная «сторона» простой дуги
1. Области, характеризующие различные «стороны» простой дуги (529).
2. Определение областей, характеризующих различные стороны простой дуги, с помощью введения криволинейной системы координат (531). 3. Некоторые предложения о взаимном расположении дуг и простых замкнутых кривых (532). 4. Ограниченные области на плоскости (532).
§ 4. Лемма Адамара и теорема о неявных функциях
1. Классы функций (533). 2. Лемма Адамара (533). 3. Теорема о неявных функциях (534).
§ 5. Угол между векторами. Гладкая простая дуга и гладкая простая
замкнутая кривая. Угол между двумя гладкими дугами.
1. Угол между векторами (536). 2. Гладкая простая дуга (536). 3. Гладкан простая замкнутая кривая и кусочно-гладкая простая замкнутая кривая (536). 4. Гладкая линия (537). 5. Гладкие простые дуги, имеющие общую точку (537).
§ 6. Регулярное отображение. Криволинейные координаты. Некоторые
предложения о гладких дугах и гладких замкнутых кривых . . .
1. Регулярное отображение (538). 2. Криволинейные координаты (539).
3. Преобразование компонент вектора при регулярном отображении. Контра-вариантный вектор. Преобразование касательного вектора (540). 4. Изменение угла между векторами при регулярном отображении. Роль якобиана преобразования (541). . Использование регулярного отображения при рассмотрении областей, характеризующих различные стороны простой гладкой дуги (541). 6. Один способ введения функций х = <р (я, <), у = = if (s, () (о42). 7. Пересечение двух гладких дуг и пересечения гладкой дуги с гладкой и кусочно-гладкой простой замкнутой кривой (544). 8. Два предложения о построении функций по заданным условиям (545).
§ 7. Сфера в евклидовом пространств .
1. Окрестность точки сферы (547). 2. Простая дуга и простая замкнутая кривая на сфере (548). 3. Покрытие сферы и координаты на сфере (548). 4. Одно частное' простейшее координатное покрытие сферы (550). 5. Ориентация сферы и типы топологических отображений сферы в себя (551). 6.Функции, заданные на сфере (551).
§ 8. Основные теоремы теории дифференциальных уравнений
1. Теорема о существовании и единственности решения (552). 2. Теорема о непрерывной зависимости От начальных значений (553). 3. Производные по независимому переменному и по начальным значениям (553). t
§ 9.К вопросу о понятии «качественной структуры» разбиения па траектории и о понятии особых и неособых траекторий.
1. Сопоставление инвариантов топологических и регулярных отображений (554). 2. Различные подходы к выделению областей, заполненных траекториями «одинакового поведения» (555). 3. Случай бесконечного числа орбит-но-неустойчивых траекторий (557). 4. Геометрический пример А. Г. Майера всюду плотного множества орбитно-неустойчивых траекторий — сепаратрис состояния равновесия (557).
j 10. Теорема Бендиксона об индексе сложного состояния равновесия
Литература .
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автоколебания Автономная динамическая система
Б
Бендиксона критерий отсутствия предельных циклов — преобразования — сфера — теорема об индексе сложного состояния равновесия
В
Векторное поле непрерывно-дифференцируемое ---непрерывное без особенностей Виток траектории Внешний предельный континуум — цикл без контакта Внешняя угловая точка Внутренний предельный континуумС — цикл без контакта Внутренняя угловая точка Вращение векторного поля , Вырожденное состояние равновесия Вырожденный узел
Г
Гиперболическая область — (со, а)-дуга Гиперболический (седловой) сектор Гладкая простая дуга С, ---замкнутая кривая Граница нормальная Граничные
Д
Дуги без контакта --- траекторий — траектории — циклы без контакта Движение на траектории Двусторонний континуум Дикритический узел , Динамическая система аналитическая ---на поверхностях ----- сфере Дифференцирование в силу системы (I) Дуга без контакта -----обобщенная — целая неособая — элементарная [(со, а)-дуга] Дюлака критерий
З
Замкнутая кривая простая ----- гладкая — траектория Замкнутое множество
И
Изменение параметризации па траектории Изоклина вертикальных наклонов — горизонтальных наклонов Изолированное состояние равновесия Индекс замкнутой кривой --- траектории — как криволинейный интеграл — простых состояний равновесия — Пуанкаре — седла — сложного состояния равновесия — узла — фокуса — цикла без контакта Индуцированное направление на простой дуге -------замкнутой кривой — топологическое отображение Интеграл, общий интеграл, интегральная кривая уравнения Pdx—Qdy = O
К
Каноническая замкнутая кривая вокруг состояния равновесия , — кривая со- и а-предельпого континуума — окрестность со (а)-предельного континуума ---состояния равновесия ЗГИ ---(нуль)-иредельпого континуума --- центра Канонические дуги канонической кривой — области данной канонической окрестности состояния равновесия Канонический вид динамической системы (в окрестности состояния равновесия) Качественное исследование , — свойство Конец полутраектории — элементарной циклической дуги Контакт Контактная кривая , Континуум несвободный — нуль-предельный ----с положительной стороны (А'о, tfjf) — со (а)-пределышй (Аю. А'а) -----с положительной (отрицательной) стороны (Агю, А'ю, А'а, А'а) . — предельный для полутраекторин , , — свободный , АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Континуум сопряженный Координатное покрытие , Криволинейный сектор ,
Л
Линейный элемент Локальная схема предельного континуума ---состояния равновесия, не являющегося центром — топологическая структура ,
М
Метод изоклин Множество предельное для полутраек-тории
Н
Направление на траектории — обхода, согласованное с направлением но t Незамкнутая траектория Неособая траектория, полутраектория — целая дуга Несвободный континуум Неустойчивые состояния равновесия Неустойчивый узел --- дикритический ---невырожденный, вырожденный — фокус , Нормальная граница Нуль-предельный континуум (Ко) -----с положительной (отрицательной) стороны (ifо, Kq) Область — между сопряженными дугами — отталкивания — притяжения
О
Ограниченная полутраектория — траектория Орбитно-неустойчивая траектория (ш(а)- о'рбитно-неустойчивая траектория) , , , Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию равновесия Орбитно-устойчивая полутраектория (со(а)-орбитно-устойчивая траектория) Особая дуга , — линия — точка векторного поля ---дифференциального уравнения Особые направления — элементы
П
Параболическая дуга без контакта — область (правильный параболический сектор) , Перечисление ш-, а-, -предельного коп- тинуума Периодическое решение Петля Поле линейных элементов Полная (глобальная) схема предельного континуума —---состояния равновесия , Полная параболическая (узловая) область — схема граничной кривой ---динамической системы Положение равновесия Положительная (отрицательная) Дгга без контакта Полутраектория орбитно-неустойчнвая — орбитно-устойчивая — отрицательная (?г) , — положительная (L+) , Последующая точка Правильная параболическая область — система канонических окрестностей , Предельная точка полутраектории, траектории, предельная со(а)-точка — траектория Предельное множество , Предельный континуум для полутраектории с положительной (отрицательной) стороны , — цикл Г), , Предыдущая точка Преобразование Пуанкаре Продолжаемая траектория с положительной (отрицательной) стороны Продолжение граничной угловой дуги, угловой полутраектории — полутраектории относительно окружности с положительной (отрицательной стороны) , Простая дуга — замкнутая кривая
Р
Разбиение области на траектории Разрезанная плоскость Регулярное отображение , Решение, соответствующее траектории
С
Свободный граничный цикл без контакта — континуум , — цикл без контакта Связные множества Седло , , , Седло-узел , Седловая дуга без контакта , Седлопой сектор (область) Сектор гиперболический — криволинейный , — параболический — седловой — циклический — эллиптический Сепаратрисы седла , — состояния равновесия Соответствие по схеме , , Сопряженные концы сопряженных дуг — нуль-предельные континуумы — ш(а)-предельные континуумы — со- и а-дуги — ю- и а-циклы Состояние равновесия — — простое ---сложное Состояние равновесия с эллиптической областью Стороны простой дуги , , Сфера Бендиксона — Пуанкаую Схема границы , — граничной кривой — динамической системы --- — на сфере — предельного континуума локальная ----- полная — состояния равновесия локальная ---? — полная , --- — типа центр Схематический рисунок
Т
Тождественность двух схем границы — со(а)-перечислений, со-, а- и -пре-дельных континуумов — полных схем континуумов — схем состояний равновесия локальных -------полных --- центров — топологических структур разбиений Топографическая система кривых , Топологическая структура динамической системы , --- локальная --- разбиения на траектории ---состояния равновесия Топологический инвариант динамической системы — предел , — узел Топологическое отображение , , — седло Точка покоя — сгущения Траектория ограниченная — орбитно-неустойчивая — орбитно-устойчивая — фазовая — целая
У
Угловая дуга — полутраектория — точка — функция Угол между векторами Угол полярный Узел вырожденный , — дикрнтический , — неустойчивый — с различными характеристическими корнями , — топологический — устойчивый Устойчивые состояния равновесия Устойчивый фокус
Ф
Фазовая плоскость — траектория Фокус неустойчивый , ., — устойчивый , , Функция исследования — соответствия
Ц
Целая неособая дугаС — траектория Цепочка из особых траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных дуг Цикл без контакта , ---— континуума -----несвободный -----свободный — предельный , , Циклическая элементарная дуга Циклический порядок полутраекторий (вокруг состояний равновесия) ---точек , — сектор
Э
Элемент особый — схемы динамической системы Элементарная циклическая дуга ---со(а)-дуга Элементарные области , Элементарный топологический четырехугольник , Элементы, соответствующие по схеме Эллиптическая область Эллиптический сектор Ячейка , — двусвязная , —, заполненная замкнутыми траекториями —, — незамкнутыми траекториями, односвязная Ячейки, в границу которых входят граничные дуги
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
