|
Дж. Сансоне. Обыкновенные дифференциальные уравнения (том.1)
| | Оглавление
Предисловие
Глава I
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙИ ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ НИХ
§1. Нормальные системы
1. Определения
2. Порядок системы дифференциальных уравнений
3. Нормальные системы
§2. Получение систем обыкновенных дифференциальных уравнений путем исключения произвольных постоянных
1. Системы дифференциальных уравнений полученные путем исключения произвольных постоянных.
2. Обратная задача
§3. Доказательство основной теоремы существования и единственности по методу последовательных приближений Пикара — Пеано
1. Формулировка теоремы существования.
2. Доказательство теоремы существования по методу последовательных приближений Пикара — Пеано.
3. Доказательство Гурса теоремы единственности.
4. Дополнения к формулировке теоремы существования
§4. Аналитическое продолжение решений. Примеры.
1. Аналитическое продолжение решений
2. Система дифференциальных уравнений определяющая тригонометрические функции
3. Система дифференциальных уравнений определяющая эллиптические функции Якоби
§5. Решения дифференциальных уравнений как функции начальных значений
1. Непрерывность.
2. Дифференцируемость.
3. Лемма Гронуолла.
4. Дифференцируемость по параметру.
5. Дифференцируемость по начальным значениям решений.
6. Дифференцируемость по начальному значению независимой переменной
7. Общее решение системы дифференциальных уравнений.
§6. Доказательство теоремы существования по методу Коши — Липшица.
1. Геометрические рассмотрения.
2. Теорема существования в формулировке Пеаио. Доказательство Арцела
3. Доказательство Тонелли теоремы существования в формулировке Пеано
Глава II
НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙИ НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений.
1. Нормальные системы однородных линейных дифференциальных уравнений н линейные дифференциальные уравнения.
2. Формулы Лиувилля и Якоби
3. Независимые решения. Фундаментальные системы. Понижение порядка системы линейных однородных уравнений.
4. Сопряженная система дифференциальных уравнений
5. Неоднородные линейные системы. Метод Лагранжа.
6. Нормальные системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
§2. Применение матричного исчисления к определению решений системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
1. Сведения по матричному исчислению
2. Матрицант квадратной матрицы
3. Метод Пеано — Бекера.
§3. Частные преобразования линейных однородных дифференциальных уравнений.
1. Преобразование линейного однородного уравнения порядка и в уравнение порядка n— 1.
2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка и уравнение Риккати.
3. Линейные дифференциальные уравнения у которых коэффициент при y(n-1) равен производной коэффициента при уn.
§4. Относительная нормализация и каноническая нормализация линейных однородных дифференциальных уравнений.
1. Относительная нормализация и дифференциальные семиинварианты.
2. Замена независимой переменной
3. Каноническая нормализация Лагерра — Форсайта
4. Преобразования уравнений второго и третьего порядка.
§5. Сопряженное уравнение Лаграижа.
1. Сопряженные дифференциальные многочлены и уравнения.
2. Соотношения между фундаментальными системами решений сопряженных дифференциальных уравнений.
3. Самосопряженные дифференциальные уравнения и многочлены.
4. Первый интеграл самосопряженного уравнения нечетного порядка
5. Самосопряженные уравнения третьего порядка.
§6. Преобразование линейного дифференциального уравнения с начальными данными в интегральное уравнение Вольтерра второго рода
Глава АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙИ НЕКОТОРЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§1. Метод мажорант (исчисление пределов Коши).
1. Метод Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений
при помощи рядов.
2. Основной принцип метода мажорант Коши.
3. Доказательство теоремы существования методом мажорант.
4. Теорема существования в общем случае
5. Метод суммирования Бореля и дифференциальные уравнения
§2. Доказательство теоремы существования и единственности с помощью метода последовательных приближений.
1. Теорема существования и единственности
2. Замечание Уиитнера относительно области существования голоморфного решения
3. Применение матричного исчисления для определения фундаментальной системы решений системы линейных дифференциальных уравнений
§3. Аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений второго порядка
1. Правильные и неправильные особые точки для дифференциального уравнения второго порядка
2. Правильные точки. Определяющее уравнение.
3. Сходимоств рядов в случае когда разность характеристических показателей не является целым числом
4. Построение второго решения в случае когда характеристические показатели совпадают или отличаются на целое число
5. Правильные особые точки в бесконечности.
§4. Линейные дифференциальные уравнения с тремя правильными
особыми точками. Гипергеометрическое уравнение
1. Уравнение Паперица и функцияР Римана.
2. Преобразования Римана для функцииР
3. Гипергеометрическое уравнение Гаусса.
4. Гипергеометрическнй ряд.
5. Гипергеометрический интеграл Эйлера.
§5. Гипергеометрические многочлены Якоби
1. Многочлены Якоби )..
2. Формула Родрига. Производящая функция многочленов
3. Значения Р„(±1). Щ
4. Рекуррентные формулы.
5. Ортогональность многочленов Рв [— 11]
6. Теорема Пуанкаре.
7. Ряды по многочленам Якоби в комплексной области
8. Ультрасферические многочлены и их производящая функция
Оглавление
§6. Уравнение Бесселя.
1. Задача Д. Бернулли о малых колебаниях подвешенной иити
и уравневие Бесселя
2. Функции Бесселя (цилиндрические функции) первого рода.
3. Функции
4. Интегральные представления бесселевых функций первого рода
5. Другие интегральные представления
6. Рекуррентные соотношения между
7. Интеграл
8. Задача о разложении в ряды по бесселевым-функциям.
Глава IV
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§1. Задача о нахождении решения дифференциального уравнения n-го порядка проходящего через и заданных точек.
1. Случай когда уравнение линейно
2. Теорема существования и единственности Валле-Пуссеиа для линейного уравнения
3. Теорема Валле-Пуссена для случая дифференциального уравнения порядка и нормального вида.
§2. Дифференциальные уравнения второго порядка и теорема сравнения Штурма.
1. Исследования Штурма об уравнениях второго порядка.
2. Общие замечания относительно уравнений второго порядка
3. Сопряженные точки.
4. Достаточное условие для несуществования сопряженных точек
5. Тождество Пиконе.
6. Теорема сравнения Штурма
7. Теорема о разделении нулей
8. Теорема сравнения для полуоткрытых отрезков.
9. Выпуклость последовательности нулей решений одного дифференциального уравнения второго порядка частного вида
§3. Применение теоремы сравнения для отделения нулей ультрасферических многочленов и бесселевых функций в главном случае.
1. Нули ультрасферических многочленов.
2. Нули бесселевых функций.
§4. Осцилляционная теорема
1. Осцилляционная теорема
2. Осцилляционная теорема для уравнения
§5. Решения обращающиеся в нуль в двух заданных точках. Собственные значения и собственные функции.
1. Постановка задачи
2. Разложение оператора второго порядка в произведение операторов первого порядка
3. Выражение для решения на отрезке содержащем сопряженные точки
344.
Оглавление
4. Теорема существования собственных значений. Доказательство Маммана.
5. Собственные значения для уравнения
§6. Системы Штурма. Собственные значения. Собственные функции.
1. Задача о распределении тепла в тонкой проволоке и системы Штурма
2. Дополнения к теореме сравнения
3. Добавления к осцилляционной теореме.
4. Системы Штурма. Существование собственных значений. Теоремы Бохера
5. Системы Штурма. Существование собственных функций с заданным числом нулей. Теоремы Бохера.
6. Система Штурма — Лиувилля. Существование собственных значений
7. Ортогональность собственных функций системы Штурма — Лиувилля.
8. Достаточные условия действительности всех собственных значений системы Штурма — Лиувилля.
§7. Асимптотические разложения функций Штурма — Лиувилля.
1. Типичная форма систем Штурма — Лиувилля
2. Уравнение для собственных значений
3. Асимптотические выражения для собственных значений и собственных функций
4. Собственные функции обращающиеся в нуль в двух заданных точках и их асимптотические выражения
§8. Теорема Дини — Гобсона о равносходимости ряда Штурма —
Лиувилля и тригонометрического ряда Фурье
1. Задача о разложении по функциям Штурма — Лиувилля.
2. Предварительные леммы
3. Теорема Уолша о равносходимости для рядов по ортогональным функциям.
4. Теорема о равносходимости рядов Штурма — Лиувилля и тригонометрических рядов Фурье
Глава V
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ п-ГО ПОРЯДКА (п>2)
§1. Билинейные формы. Канонический вид.
§2. Сопряженные и самосопряженные дифференциальные системы.
1. Дифференциальные системы. Индекс совместности.
2. Сопряженные дифференциальные системы. §
3. Индексы совместности для сопряженных систем.
4. Самосопряженные линейные системы
5. Самосопряженные системы второго порядка.
6. Самосопряженные системы Штурма — Лиувилля.
7. Самосопряженные системы четвертого порядка.
§3. Функция Грнна н преобразование дифференциальных систем в интегральные уравнения Фредгольма второго рода.
1. Функция Грина для самосопряженной системы второго порядка частного вида
2 Функция Грина для дифференциальных систем.
3. Запись в виде интеграла решения неоднородной дифференциальной системы имеющей единственное решение.
4. Решения дифференциальных систем как решения интегральных уравнении Фредгольма второго рода
5. Линейные системы зависящие от параметра. Собственные значения и собственные функции
6. Линейные самосопряженные системы четного порядка. Разложения в ряды по собственным функциям н теорема Гильберта— Шмидта
§4. Краевые задачи для самосопряженных систем четного порядка н
вариационное исчисление
1. Экстремальное свойство собственных значений вытекающее
из теории интегральных уравнений.
2. Доказательство Тонелли существования собственных значений
с помощью прямых методов вариационного нечисления.
3. Экстремальное свойство собственных значений выводимое из теории дифференциальных систем. Доказательство Пиконе
4. Одно интегральное неравенство.
§5. Существование бесконечного множества собственных значений для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Глава VI
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕИ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1. Решения линейных дифференциальных уравнений с периодическими
коэффициентами
1. Примеры.
2. Характеристическое уравнение.
3. Элементарные делители матрицы
4. Решения в случае когда показатели всех элементарных делителей характеристической матрицы равны единице. Характеристические показатели и числа
5. Решения в общем случае. Подгруппы Гамбургера
6. Необходимое и достаточное условие существования периодического решения
7. Периодические решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
§2. Вычисление характеристических показателей
1 Исследование характеристических показателей.
2. Исследования А. М. Ляпунова об уравнениях второго порядка
3. Метод Хнлла вычисления характеристических показателей при помощи бесконечных определителей
§3. Самосопряженные системы второго порядка с периодическими
краевыми условиями
1. Существование собственных значений
2. Осцилляционная теорема
§4. Дифференциальное уравнение Матье и функции связанные с эллиптическим цилиндром
1. Элементарные решения уравнения колебаний эллиптической мембраны и уравнение Матье.
2. Функции Матье и их классификация по типам
3. Отсутствие линейно независимых периодических решений соответствующих одному и тому же собственному значению. Теорема Айнса.
4. Интегральное уравнение Уиттекера для функций Матье.
§5. Системы линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами
§6. Системы дифференциальных уравнений зависящих от параметра.
Периодические решения 304
§7.О периодических решениях дифференциального уравнения динамики точки движущейся по заданной траектории
1. Теорема Вейерштрасса.
2. Формула Леви-Чивита для вычисления периода в первом приближении..
§8. Задача о периодических орбитах и вариационное исчисление.
1. Задача о периодических орбитах
2. Теорема Тонелли о существовании периодических экстремалей
§9. Почти периодические функции и почти периодические решения
дифференциальных уравнений
1. Почти периодические функции. Первые свойства
2. Теорема о среднем.
3. Ряды Фурье почти периодических функций.
4. Теорема об аппроксимации.
5. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Теорема Бора и Нейгебауера
Литература
Предметный указатель .
А
Аналитическое продолжение решений нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Асколи теорема
Б
Бекера и. Пеано метод интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений Бесселя функции см. функции Бесселя Бета-функция Билинейная форма --- канонический вид Бора н Нейгебауера теорема о почти периодичности Бореля метод суммирования применение к интегрированию дифференциальных уравнений Бохера теорема о существовании собственных значений ---о существовании собственных функций с заданным числом нулей Брунса неравенства для сферических функций
В
Вейерштрасса теорема о периодическом решении дифференциального уравнения движения точки по заданной траектории Вронскиан
Г
Гамбургера подгруппы для линейных однородных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами Гамма-функция Гаусса гипергеометрический ряд Гильберта—Шмидта теорема о разложении в ряды по собственным функциям Гнпергеометрические многочлены Яко-би Гипергеометрический интеграл Эйлера — ряд Гаусса Гипергеометрическое уравнение Гаусса Грина функция см. функция Грина Гронуолла лемма Гурса
Д
доказательство единственности решений нормальной системы диф ференциальных уравнений Дини—Гобсона теорема о равносходимости рядов Штурма—Лиувилля и тригонометрических рядов Фурье Дифференциальное уравнение второго порядка в действительной области и теорема сравнения Штурма --------комплексной области ---гипергеометрическое Гаусса --- линейное неоднородное -------дополнительная функция -------решение методом вариации произвольных постоянных -------с периодическими коэффициентами --- линейное однородное -----— вронскиан фундаментальной системы -------с постоянными коэффициентами -------формула Лиувилля ------фундаментальная система ------- преобразование в интегральное уравнение ---Матье -----интегральное уравнение Унт- текера для функций Матье -----решения типа C C -----теорема Айнса -----фундаментальная система Дифференциальное уравнение линейное функции Матье первого вида — — с периодическими коэффициентами ---------вычисление характеристических показателей ---------исследования Ляпунова А. М. ---------метод Хилла вычисления характеристических показателей ---------необходимое и достаточное условие существования периодического решения -----— — подгруппы Гамбургера ---------формула Пуанкаре ---------характеристическая матрица --- — ---характеристические показатели и характеристические числа Дифференциальные системы индекс совместности ---линейные зависящие от параметра ---несовместность ---однородные ---преобразование в интегральные уравнения Фредгольма второго рода — — самосопряженные -----с периодическими краевыми условиями -----четного порядка — — сопряженные — уравнения определяющие эллиптические функции Якоби Дифференцируемость по начальному значению независимой переменной ---начальным значениям решений ---параметру Задача Д. Бернулли о колебаниях нити — о разложении по функциям Штурма—Лиувилля — — распространении тепла в тонкой проволоке
И
Интегральное уравнение Уиттекера для функций Матье
К
Каноническая нормализация Лагер- ра—Форсайта Каратеодори критерий непрерывности решений от начальных значений Колебания малые нити и уравнение Бесселя — эллиптической мембраны Конгруенция интегральных кривых Коши задача для системы дифференциальных уравнений Коши—Липшица доказательство теоремы существования Коэффициенты Фурье
Л
Лагранжа метод вариации произвольных постоянных Леви-Чивита формула для вычисления периода в движении точки по заданной траектории Лемма Гронуолла Линейное дифференциальное уравнение второго порядка Линейные дифференциальные уравнения второго порядка аналитическая теория --------- и уравнение Риккати Линейный элемент Ляпунов А. М. исследования об уравнениях второго порядка
М
Матрица вырожденная — диагональная —i единичная — нерегулярная — нулевая — обратная — расстояние между двумя подобными матрицами — регулярная — сингулярная Матрицант квадратной матрицы Матричное нечисление Матье дифференциальное уравнение см. дифференциальное уравнение Матье Метод вариации произвольных постоянных — интегрирования Пеано—Бекера системы линейных дифференциальных уравнений — мажорант --- доказательство теоремы существования — последовательных приближений доказательство теоремы существования и единственности Метод последовательных приближений Пикара—Пеано для интегрирования системы дифференциальных уравнений — суммирования Бореля — усиливающих мажорантных функций Коши — Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений при помощи рядов Многочлены Чебышева — сферические — ультрасферические — Якоби ортогональность ---рекуррентные формулы Модуль эллиптических функций Якоби
Н
Независимые решения Непрерывность решений относительно начальных значений -----параметров Неравенства Брунса Неравенство произведения — треугольника Нормализация относительная и каноническая линейных однородных дифференциальных уравнений Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений ---линейных дифференциальных уравнений ---однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
О
Общее решение системы дифференциальных уравнений Определяющее уравнение Особые точки линейных дифференциальных уравнении второго порядка Осцилляционная теорема
П
Паперица уравнение Пеано и Бекер метод интегрирования системы линейных однородных дифференциальных уравнений ---Пикар метод последовательных приближений для интегрирования нормальной системы дифференциальных уравнений — теорема существования для систе мы дифференциальных уравнений Периодические орбиты ---теорема Тонелли о существовании Последовательные решения — — дифференциального уравненяв движения точки по заданной траектории ---системы дифференциальных уравнений зависящих от параметра Периоды эллиптических функций Якоби Пиконе доказательство экстремального свойства собственных значений — тождество Порядок системы дифференциальных уравнений Постоянные Липшица Почти периодические функции -----первые свойства -----равенство Парсеваля -----ряды Фурье —---теорема об аппроксимации при помощи показательных многочленов -------о среднем Произведение двух операторов ---— первого порядка — матриц Производящая функция для многочленов Якоби
Р
Резольвента интегрального уравнения Вольтерра второго рода Резонанс Решение системы дифференциальных уравнений Решения дифференциальных систем как решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода ---уравнений как функции начальных значений Риккати уравнение Ряд Фурье — Фурье относительно ортогональной системы Ряды по многочленам Якоби в комплексной области
С
Самосопряженные дифференциальные многочлены ---системы ---уравнения Лагранжа — системы второго лорядка с периодическими краевыми условиямиС — — Штурма—Лнувилля Система дифференциальных уравнений зависящая от параметров — дифференциальных уравнений самосопряженная Системы линейных однородных уравнений — Штурма — Штурма—Лиувилля типичная форма Собственные значения ---для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ---и собственные функции ---------асимптотические выражения --- - системы Штурма—Лиувилля ---------действительные — -----— уравнение ---теорема существования ---экстремальное свойство — функции ---их асимптотические выражения — — системы Штурма—Лиувилля ортогональность Сопряженная система дифференциальных уравнений Сопряженное уравнение Лагранжа Сопряженные дифференциальные системы Сопряженный многочлен Спектр матрицы — оператора
Т
Теорема Айнса — Асколи — Бора и Нейгебауэра — Бохера о существовании собственных значений —-------функций — Гильберта—Шмидта — единственности доказательство Гурса — единственности Хаара — о разделении нулей — сравнения Штурма — существования доказательство Коши—Липшица -----Пикаро—Пеано II ---и единственности Валле-Пус- сена ---собственных значений — Тонелли о существовании периодических экстремалей — Уолша о равносходимости для рядов по ортогональным функциям Теорема Штекеля—Ли Тождество Пиконе Уравнение Бесселя — Папернца
У
Уравнения класса Фукса — линейные с периодическими коэффициентами ---однородные с периодическими коэффициентами ---с тремя правильными особыми точками Условие существования периодического решения
Ф
Формула Лиувилля — Родрига — Якоби Формулы Лиувилля—Якоби Фундаментальная система ---решений уравнения — — — системы линейных дифференциальных уравнений Функции Бесселя нули --- первого рода — Матье ---интегральное уравнение Уитте- кера --- первого вида — Штурма—Лиувилля асимптотические разложения Функция Грина для дифференциальных систем -----самосопряженной системы второго порядка частного вида — полунепрерывная — Римана
Х
Характеристические показатели ПС — — вычисление — уравнения системы — числа ---матрицы Характеристическое уравнение Хилла метод вычисления характеристических показателей
Ч
Частный интеграл
Э
Эйлера гнпергеометрический интеграл Элементарные делители
Я
Якоби гипергеометрические многочлены
|
|
| |
|
| |
|
|
Найдите то что искали здесь:
|
|
| |
